Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Гамильтоновы графы

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Аннотация: Гамильтоновы графы. Теорема Дирака.

Гамильтоновы графы

Рассмотрим проблему существования замкнутой цепи, проходящей ровно один раз через каждую вершину графа G.

Примеры:


Ясно, что такая цепь должна быть циклом, исключая тривиальный случай, когда G является графом N_{1}. Если такой цикл существует, то он называется гамильтоновым циклом (путем), а G называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простую цепь, проходящую через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Название "гамильтонов цикл" возникло в связи с тем, что Уильям Гамильтон занимался исследованием существования таких циклов в графе, соответствующем додекаэдру. Додекаэдр — это многогранник, гранями которого служат 12 правильных пятиугольников. У него 20 вершин и 30 ребер.

Эйлеровы и гамильтоновы пути сходны по способу задания. Первые содержат все ребра, по одному разу каждое, вторые - все вершины, по одному разу каждую. Но, несмотря на внешнее сходство, задачи их поиска резко отличаются по степени трудности. Для решения вопроса о наличии эйлерова цикла в графе достаточно выяснить, все ли его вершины четны. Критерий же существования гамильтонова цикла в произвольном графе еще не найден. Решение этой проблемы имеет практическую ценность, так как к игре Гамильтона близка известная задача о коммивояжере, который должен объехать несколько пунктов и вернуться обратно. Он обязан побывать в каждом пункте в точности по одному разу и заинтересован в том, чтобы затратить на поездку как можно меньше времени. А для этого требуется определить все варианты посещения городов и подсчитать в каждом случае затрату времени. По своей математической постановке игра Гамильтона близка к задаче о порядке переналадки станков, задаче о подводке электроэнергии к рабочим местам и т.д. (Подробнее об этом рассказывается, например, в книге В.И.Мудрова "Задача о коммивояжере" М.: Знание, 1969).

Рассмотрим несколько достаточных условий существования гамильтоновых циклов в графе.

Во-первых, всякий полный граф является гамильтоновым. Действительно, он содержит такой простой цикл, которому принадлежат все вершины данного графа. Во-вторых, если граф, помимо простого цикла, проходящего через все его вершины, содержит и другие ребра, то он также является гамильтоновым.

Пример.


Простой (гамильтонов) цикл выделен сплошной линией (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,1). Заметим, что если граф имеет один гамильтонов цикл, то он может иметь и другие гамильтоновы циклы.

Если гамильтонов граф объединить с еще одной вершиной ребром так, что образуется висячая вершина, то такой граф гамильтоновым не является, поскольку не содержит простого цикла, проходящего через все вершины графа.

Пример.


Не является гамильтоновым и граф, представляющий собой простой цикл с "перекладиной", на которой расположены одна или несколько вершин.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов