Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Представления о планарном графе

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Гомеоморфные графы

Теорема (Куратовский, 1930) Граф планарен тогда и только тогда, если не содержит подграфов, гомеоморфных K_{5} или K_{3,3}.

Поскольку доказательство теоремы Куратовского довольно длинное и сложное, здесь оно не приводится (см. Ф.Харари. Теория графов. М.: "Мир". 1973). Тем не менее, воспользуемся теоремой Куратовского для получения другого критерия планарности. Рассмотрим еще два определения. Элементарным стягиванием называется такая процедура: берем ребро e (вместе с инцидентными ему вершинами, например, v и w ) и"стягиваем" его, то есть удаляем e и отождествляем v и w. Полученная при этом вершина инцидентна тем ребрам (отличным от e ), которым первоначально были инцидентны v или w.

Пример.


Граф G называется стягиваемым к графу H, если H можно получить из G с помощью некоторой последовательности элементарных стягиваний.

Граф планарен тогда и только тогда, если он не содержит подграфов, стягиваемых к K_{5} или к K_{3,3}.

Формула Эйлера

Для всякого плоского представления связного плоского графа без перегородок число вершин ( V ), число ребер ( E ) и число граней с учетом бесконечной ( R ) связаны соотношением V-E+R=2.

Пусть граф G — связный, плоский граф без перегородок. Определим значение алгебраической суммы V - E + R для его произвольного плоского представления.

Преобразуем данный граф в дерево, содержащее все его вершины. Для этого удалим некоторые ребра графа G, разрывая поочередно все его простые циклы, причем так, чтобы граф оставался связным и без перегородок.

Заметим, что при таком удалении одного ребра число граней уменьшается на 1, так как при этом либо пропадет один простой цикл, либо два простых цикла преобразуются в один. Следовательно, значение разности E -
R при этом остается неизменным.

На рисунке ребра, которые мы удаляем, изображены кривыми. В полученном дереве обозначим число вершин — V_{d}, число ребер — E_{d}, число граней — R_{d}. Справедливо равенство E - R = E_{d} -
R_{d}.

В дереве одна грань, то есть E - R = E_{d} - 1. Операция удаления ребер из графа не меняет число его вершин, то есть V = V_{d}. По теореме 2.1 (см. "Некоторые определения теории графов" ), в дереве V_{d} - E_{d} =1. Отсюда V - E_{d} =1, то есть E_{d} = V - 1, а потому E - R =  V -  2 или V - E + R =2.

Итак, доказано, что если в плоском представлении связного графа без перегородок V вершин, E ребер и R граней, то V - E + R =2. Полученная формула называется формулой Эйлера.

Пример.


< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов