Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 2:

Некоторые определения теории графов

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Аннотация: Определения и примеры. Удаление ребер, мосты. Деревья. Перечисление деревьев.

Определения и примеры

Матрицей смежности графа G с множеством вершин \{v_{1} \dts v_{n}\} (соответствующей данной нумерации вершин) называется матрица {A=(a_{ij})} размера n\times
n, в которой элемент a_{ij} равен числу ребер в G, соединяющих v_{i} и v_{j}. Можно получить несколько различных матриц смежности данного графа, меняя обозначения его вершин. Это приведет к изменению порядка строк и столбцов матрицы A. Но в результате всегда получится симметричная матрица из неотрицательных целых чисел, обладающая тем свойством, что сумма чисел в любой строке или столбце равна степени соответствующей вершины. Каждая петля учитывается в степени вершины один раз. Обратно, по любой заданной симметричной матрице из неотрицательных целых чисел легко построить граф, единственный с точностью до изоморфизма, для которого данная матрица является матрицей смежности. Отсюда следует, что теорию графов можно свести к изучению матриц особого типа.

Матрицей инциденций простого графа с множеством вершин v_{1},... v_{m} называется матрица A=(a_{ij}) размера m\times n, у которой a_{ij}^{} = 1, если вершина v_{j} инцидентна ребру e_{i}, и a_{ij} = 0, в противном случае.

Граф, у которого множество ребер пусто, называется вполне несвязным или пустым графом. Будем обозначать вполне несвязный граф с n вершинами через N_{n}. Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с n вершинами обычно обозначается через K_{n}. Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна r, то граф называется регулярным степени r. Регулярные графы степени 3 называются также кубическими, или трехвалентными графами. Каждый вполне несвязный граф является регулярным степени 0, а каждый полный граф K_{n} — регулярным степени n-1. Среди регулярных графов особенно интересны платоновы графы — графы, образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников — платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра.

Объединение и соединение двух графов. Существует несколько способов соединения двух графов для образования нового, большего графа. Рассмотрим два из них. Пусть даны два графа G_{1} =(V(G_{1}),E(G_{1} )), G_{2}
=(V(G_{2}),E(G_{2})), причем множества V(G_{1}),V(G_{2}) не пересекаются. Тогда объединением G_{1} \bigcup G_{2} графов G_{1},G_{2} называется граф с множеством вершин V(G_{1})\bigcup V(G_{2}) и семейством ребер E(G_{1} )\bigcup E(G_{2}). Можно также образовать соединение графов G_{1},G_{2}, обозначаемое G_{1}+ G_{2}, взяв их объединение и соединив ребрами каждую вершину графа G_{1} с каждой вершиной графа G_{2}^{}.

Пример матрицы смежности. Пусть дан граф


Матрица смежности

\begin{pmatrix}
{1} & {1} & {1} & {0} \\
{1} & {0} & {2} & {1} \\
{1} & {2} & {0} & {1} \\
{0} & {1} & {1} & {0}
\end{pmatrix}

Обхватом графа называется длина его кратчайшего цикла. Множество E ребер графа называется независимым, если оно не содержит циклов, то есть никакая совокупность ребер из E не образует цикла. Диаметром \delta связного графа G называется максимальное возможное расстояние между любыми двумя его вершинами. Центром графа G называется такая вершина v, что максимальное расстояние между v и любой другой вершиной является наименьшим из всех возможных. Это расстояние называется радиусом r. Таким образом,

r=\min \limits_{v} (\max \limits_{w} d(v,w)),

где d(v,w)расстояние между v и w.

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов