Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Основные понятия теории графов

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Связность графа

Назовем граф связным,если его нельзя представить в виде объединения двух графов, и несвязным — в противном случае.

Маршрутом в данном графе G называется конечная последовательность ребер вида

\{ v_{0} ,v_{1} \},\{ v_{1} ,v_{2} \} ,\ldots,\{v_{m-1} ,v_{m} \}

(обозначаемая также через v_{0} \to v_{1} \to v_{2} \to \ldots \to
v_{m} ). Очевидно следующее свойство маршрута: любые два последовательных ребра либо смежны, либо одинаковы. Но не всякая последовательность ребер, обладающая этим свойством, является маршрутом (в качестве примера рассмотрим звездный граф и возьмем его ребра в произвольном порядке). Каждому маршруту соответствует последовательность вершин v_{0}, v_{1}
\ldots v_{m}. v_{0} называется начальной вершиной, а v_{m} конечной вершиной маршрута. Таким образом, мы будем говорить о маршруте из v_{0} в v_{m}. Заметим, что для любой вершины v_{0} тривиальным маршрутом, вообще не содержащим ребер, является маршрут из v_{0} в v_{0}. Длиной маршрута называется число ребер в нем. Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все вершины v_{0},\ldots
,v_{m} различны, кроме, может быть, v_{0} =v_{m}. Замкнутая простая цепь, содержащая по крайней мере одно ребро, называется циклом. В частности, любая петля или любая пара кратных ребер образует цикл. Путь (последовательность ребер, ведущая от e_{1} к e_{2}, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза) от вершины e_{1} до вершины e_{2} называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

Граф G называется связным, если для любых двух его вершин v и w существует простая цепь из v в w. Любой граф можно разбить на непересекающиеся связные графы, называемые компонентами ( связности ) графа G. Таким образом, несвязный граф имеет, по крайней мере, две компоненты. Две вершины эквивалентны (или связаны ), если существует простая цепь из одной в другую.Связный граф состоит из одной компоненты. Граф называется несвязным, если число его компонент больше единицы.

Связный граф представляет собой простой цикл тогда и только тогда, когда каждая его вершина имеет степень 2.

Если G(V,E)связный граф и степень каждой его вершины 2, тогда G(V,E)простой цикл.

Из каждой вершины данного графа в любую другую ведет путь. Начнем путь из какой-нибудь вершины е и пройдем по одному из двух ребер, которым принадлежит эта вершина. Попав во вторую вершину, выйдем из нее по второму ребру и так далее. С необходимостью все ребра графа будут пройдены, и мы вернемся в исходную вершину.

Если граф G(V,E)простой цикл, тогда степень каждой вершины равна двум.

Так как граф G(V,E) — замкнутый простой путь, то из каждой его вершины можно попасть в любую другую, не проходя ни через одну вершину более одного раза. Степень каждой вершины такого графа равна двум.

Покажем, что в простом цикле не может быть вершины, степень которой не равна двум.

Если какая-то вершина в графе имеет степень меньше двух, то она не принадлежит никакому простому циклу.

Если какая-то вершина имеет степень больше двух, то никакой простой цикл (по определению) не может содержать все ребра, которым принадлежит эта вершина.

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов