Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2866 / 441 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Основные понятия теории графов

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >

Двудольный граф

Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества V_{1} и V_{2}, так, что каждое ребро в G соединяет какую-нибудь вершину из V_{1} с какой-либо вершиной из V_{2}, тогда G называем двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G(V_{1},V_{2}), если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому: в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем, красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой — синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V_{1} соединена с каждой вершиной из V_{2} ; если же это так и если при этом граф G простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается K_{m,n}, где m,n — число вершин соответственно в V_{1} и V_{2}.

Пример.


Заметим, что граф K_{m,n} имеет ровно m+n вершин и nm ребер.

Степень вершины

Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким ребрам они принадлежат.

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина. Вершина называется четной, если ее степень — число четное. Вершина называется нечетной, если ее степень — число нечетное. Две вершины графа называются смежными, если существует соединяющее их ребро, то есть ребро вида \{v,w\} ; при этом вершины v и w называются инцидентными этому ребру, а реброинцидентным этим вершинам. Аналогично, два различных ребра графа называются смежными, если они имеют, по крайней мере, одну общую вершину. Иначе можно определить степень вершины. Степенью или валентностью вершины v графа G называется число ребер, инцидентных v ; степень вершины будем обозначать через \rho
(v). При вычислении степени вершины v будем учитывать петлю в v два раза, а не один. Вершина степени 0 называется изолированной вершиной, вершина степени 1 называется висячей, или концевой, вершиной. Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом.

Два графа, G_{1} и G_{2}, называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, обладающее тем свойством, что число ребер, соединяющих любые две вершины в G_{1} равно числу ребер, соединяющих соответствующие вершины в G_{2}.

Имея даже общие представления о графе, иногда можно судить о степенях его вершин. Так, степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин. При этом некоторые закономерности, связанные со степенями вершин, присущи не только полным графам.

1. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа, так как каждое ребро участвует в этой сумме ровно два раза. Этот результат, известный еще более двухсот лет назад Эйлеру, часто называют леммой о рукопожатиях. Из нее следует, что если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно, ибо в каждом рукопожатии участвуют две руки (при этом каждая рука считается столько раз, сколько она участвовала в рукопожатиях).

2. Количество нечетных вершин любого графа четно.

3. Во всяком графе с n вершинами, где n \ge 2, всегда найдутся по меньшей мере две вершины с одинаковыми степенями.

4. Если в графе с вершинами n>2 в точности две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени n-1.

Лекция 1: 1234 || Лекция 2 >
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Лариса Парфенова
Лариса Парфенова

1) Можно ли экстерном получить второе высшее образование "Программная инженерия" ?

2) Трудоустраиваете ли Вы выпускников?

3) Можно ли с Вашим дипломом поступить в аспирантуру?

 

Петр Гончар-Зайкин
Петр Гончар-Зайкин
Россия
Светлана Ведяева
Светлана Ведяева
Россия, Саратов