Так это же динамическое программирование на основе математической индукции. |
Неравенство Коши и его обобщения
Теорема 2 Решением экстремальной задачи
при ограничениях
где
является единственный вектор с компонентами
( 11) |
Минимум целевой функции вычисляется по формуле:
( 12) |
В следующем примере рассмотрена задача, обратная к задаче из примера 5. Для ее решения используется теорема 2.
Пример 6 Найдем, при каких наименьших затратах на ресурсы будет достигнут заданный объем выпуска продукции.
В обозначениях примера 5 математическая модель этой задачи примет вид:
при ограничениях
( 13) |
Преобразуем ограничение (13):
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 2 при , , , , , , , .
Подставляя в формулу (11) значения параметров, получим оптимальные количества ресурсов:
Наименьшие затраты на ресурсы вычисляются по формуле (12):
В двух последних примерах использовалась функция Кобба-Дугласа
принадлежащая классу функций, к описанию которого мы переходим.
Заметим, что в этой лекции мы пока не приводим формальную постановку задачи геометрического программирования, но все рассматриваемые в ней примеры являются таковыми задачами или сводятся к ней с помощью простых преобразований.
Мономы
Мономом называется функция , которая определяется следующей формулой:
( 14) |
Таким образом, моном - это произведение положительного коэффициента и переменных в вещественных степенях . Эти степени образуют вектор экспонент монома, который мы будем обозначать через . Подчеркнем, что поскольку допускаются дробные и отрицательные показатели степеней, то область определения монома ограничена строго положительными вещественными числами.
Пример 7 Определим коэффициент и вектор экспонент следующего монома:
В моном входят две переменные: и .
Коэффициент монома: .
Перечислим основные свойства множества мономов:
- если - моном, - константа, то - моном,
- если - моном, - моном, то - моном,
- если - моном, - моном, то - моном,
- если - моном, то - моном ( ).
Теперь мы переходим к описанию базового понятия в ГП - позиномам.
Позиномы
Позином называется обобщенный полином вида:
( 15) |
Позином можно рассматривать как сумму мономов . Коэффициенты называют вектором коэффициентов позинома. Естественно, что область определения позинома (также как у монома) ограничена строго положительными вещественными числами.
Показатели степени принято записывать в виде матрицы , которую называют матрицей экспонент. Количество строк в матрице равно числу мономов , а количество столбцов - числу переменных позинома . Значение элемента равно степени (экспоненте) переменной в мономе 1Обращаем внимание читателя на тот факт, что в ряде источников матрицей экспонент называют транспонированную матрицу .
С целью записи формулы (15) в компактном виде введем следующее обозначение:
С учетом введенного обозначения формула (15) может быть переписана в следующем виде:
( 16) |
Обозначим через - столбец с номером матрицы . Тогда формула
( 17) |
определяет позиномы от одной переменной , которые называются компонентами позинома .
Перечислим основные свойства множества позиномов:
- если - позином, - константа, то - позином,
- если - позином, - позином, то - позином,
- если - позином, - моном, то - позином,
- если - позином, - моном, то - позином,
- если - позином, то - позином.
Раcсмотрим примеры позиномов.
Пример 8 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
В позином входит одна переменная . Позином состоит из трех мономов: , , . Вектор коэффициентов: . Матрицей экспонент позинома является ( )-матрица
Пример 9 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
В позином входят три переменные . Позином состоит из четырех мономов:
Вектор коэффициентов образован коэффициентами мономов: . Матрицей экспонент позинома является ( )- матрица
Вектор коэффициентов позинома и матрица экспонент однозначно определяют позином по формуле (15). Рассмотрим примеры.
Пример 10 По вектору коэффициентов и матрице экспонент
запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
Пример 11 По вектору коэффициентов и матрице экспонент
запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
Пример 12 Запишем компоненты позинома из примера 9:
В позином входят три переменные , следовательно, позином состоит из трех компонент. Вектор коэффициентов . По формуле (17) определяем:
Следует заметить, что при помощи позиномов описывается большое число закономерностей и отношений, возникающих в различных областях, среди которых: оптимальное планирование, техническое проектирование, исследование химического равновесия, потоки в сетях, оптимальное управление, теория кодирования, управление запасами, системы связи, региональная экономика, автоматизированное проектирование, расчет рисков.
Все задачи оптимизации с позиномами можно разделить на два основных вида: задачи без ограничений, когда минимизируется один позином, и задачи с ограничениями, когда минимизируется некоторый позином, а значения других позиномов не должны превышать единицы. Однако существуют и другие виды задач оптимизации с позиномами. Некоторые из них мы рассмотрим в последующих лекциях.
Краткие итоги
Описаны истоки геометрического программирования, обозначены основные сферы применения. Показана роль неравенства Коши и его обобщения в построении начальной теории. Введены понятия монома и позинома. Перечислены основные свойства множества мономов и множества позиномов. Все определения объяснены на примерах.