НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 9: Аукционы с зависимыми ценностями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 1542 / 82 | Оценка: 4.50 / 3.50 | Длительность: 18:52:00

ISBN: 978-5-9963-0014-3

Темы: Математика, Экономика

Специальности: Математик, Экономист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аффилированные сигналы

Итак, отныне мы отказываемся от предположения, что распределения X_i независимы, и будем считать, что они могут быть коррелированными. В таком случае появляется единая совместная плотность $f(\mathbf X)$ , неравная $\prod_if_i(X_i)$ . Конечно, работать с совсем уж произвольным распределением вероятностей нелегко, и многого о нем доказать не получится. Да и на практике предположение, которое мы сейчас сделаем, представляется в высшей степени разумным. Мы будем предполагать, что сигналы $X_1, X_2, \ldots X_N$ аффилированы.

Определение 9.1. Случайные величины $\mathbf X = (X_1,\ldots,X_N)$ называются аффилированными, если $\forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime}$ :

$p(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime})p(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge p(\mathbf x^\prime)p(\mathbf x^{\prime\prime}),$

где

$\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\max(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\max(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right),\\ \mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime} = \left(\min(x^\prime_1,x^{\prime\prime}_1),\ldots,\min(x^\prime_N,x^{\prime\prime}_N)\right).$

Аффилированность — это усиленная форма положительной корреляции. По сути она означает, что если некоторая часть значений X_i велика, то остальные значения тоже, скорее всего, будут велики. Согласитесь, что для аукционов с месторождениями, да и вообще для типичной ситуации аукциона с зависимыми ценностями, это предположение выглядит разумным.

Рассмотрим еще одно сугубо математическое определение.

Определение 9.2. Функция называется супермодулярной, если $\forall\ \mathbf x^\prime,\mathbf x^{\prime\prime}$ :

$f(\mathbf x^\prime\lor\mathbf x^{\prime\prime}) + f(\mathbf x^\prime\land\mathbf x^{\prime\prime}) \ge f(\mathbf x^\prime) + f(\mathbf x^{\prime\prime})$

Из определений 9.1 и 9.2 мгновенно следует, что компоненты вектора случайных величин $\mathbf X$ аффилированы тогда и только тогда, когда $\ln p$ супермодулярна. Чтобы убедиться в этом, достаточно прологарифмировать равенство из определения аффилированной функции. Следующее предложение мы также оставим без доказательства — доказать его будет хорошим упражнением.

Предложение 9.1. Если — гладкая функция, то супермодулярна тогда и только тогда, когда

$\forall\ i \ne j\quad \pdertwo{f}{x_i}{x_j} \ge 0.$

Сейчас мы будем понемножку устанавливать математические факты о супермодулярных функциях и аффилированных случайных переменных, которые нам потребуются в дальнейшем. Поэтому нетерпеливый читатель может сейчас пропустить остаток этого раздела и возвращаться к нему по мере надобности, когда мы в последующем тексте будем на него ссылаться. Но для полноты картины все же рекомендуем читать по порядку.

Рассмотрим переменные $Y_1,\ldots,Y_{N-1}$ , которые мы уже использовали в предыдущих лекциях. Напомним, что они представляют собой сигналы $X_2,\ldots,X_N$ , упорядоченные в порядке убывания значений.

Совместная плотность случайных величин $X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$ легко выражается через совместную плотность вектора сигналов $\mathbf X$ . Для этого достаточно заметить, что каждый вектор $\byn N=(y_1,\ldots,y_{N-1})$ соответствует (N-1) ! различных векторов $(x_2,\ldots,x_N)$ : можно перемешать компоненты $(y_1,\ldots,y_{N-1})$ как угодно, а получаться все равно будет один и тот же упорядоченный вектор. Поэтому

$g(x_1,y_1,\ldots,y_{N-1}) = \begin{cases} (n-1)!p(x_1,\byn N), & \text{когда }y_1\ge \ldots\ge y_{N-1}\ge 0,\\ 0, & \text{в противном случае.} \end{cases}$

Значит, если переменные $X_1,X_2,\ldots,X_N$ аффилированы, то аффилированными также будут и $X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$ .

Введем теперь новое определение.

Определение 9.3. Рассмотрим две случайные переменные — и — с функциями распределения и и плотностями распределения и соответственно. Говорят, что:

доминирует над в терминах отношения правдоподобия (like-li-hood ratio), если функция отношения правдоподобия $\frac{f(\cdot)}{g(\cdot)}$ возрастает, то есть
$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)};$
доминирует над в терминах доли риска (hazard rate), если доля риска у всегда выше, чем у :
$\forall x\quad \frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)};$
доминирует над в терминах обратной доли риска (reverse hazard rate), если обратная доля риска у всегда выше, чем у :
$\forall x\quad\frac{F(x)}{f(x)}\ge\frac{G(x)}{g(x)};$
стохастически доминирует над , если
$\forall x\quad F(x)\ge G(x)$ .

Предложение 9.2.

Если доминирует над в терминах отношения правдоподобия, то доминирует над в терминах доли риска.
Если доминирует над в терминах отношения правдоподобия, то доминирует над в терминах обратной доли риска.
Если доминирует над в терминах доли риска, то стохастически доминирует над .

Доказательство.

Доминирование в терминах отношения правдоподобия означает, что
$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}$ .

Это эквивалентно тому, что

$\forall x<y\quad \frac{f(y)}{f(x)} \ge \frac{g(y)}{g(x)}$ .

Проинтегрируем последнее выражение по :

$\forall x\quad \int_x^\omega\frac{f(y)}{f(x)}dy\ge\int_x^\omega\frac{g(y)}{g(x)}dy$ ,

или, что то же самое,

$\frac{1-F(x)}{f(x)}\ge\frac{1-G(x)}{g(x)}$ .
Как и в первом пункте,
$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{g(x)} \le \frac{f(y)}{g(y)}$ .

Но теперь мы это перепишем слегка по-другому:

$\forall x<y\quad \frac{f(x)}{f(y)} \le \frac{g(x)}{g(y)}$ .

Снова взяв интеграл, но на этот раз по , получаем:

$\forall x\quad \int_0^y\frac{f(x)}{f(y)}dx\ge\int_0^y\frac{g(x)}{g(y)}dx$ ,

или, что то же самое,

$\frac{F(y)}{f(y)}\ge\frac{G(y)}{g(y)}$ .
Как известно, функцию распределения можно переписать в терминах доли риска $\lambda_F(x) = \frac{1-F(x)}{f(x)}$ :
$F(x) = 1 - e^{-\int_0^x\lambda_F(t)dt}$

(если вам это неизвестно, проверьте сами!). Из этого равенства очевидно, что если для всех $\lambda_F(x)\ge\lambda_G(x)$ , то и для самих функций распределения $F(x)\ge G(x)$ для всех значений .

Рассмотрим теперь две переменные — и — с совместной плотностью

$f:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R$

и, соответственно, функцией совместного распределения

$F:[0,\omega]\times[0,\omega]\to\mathbb R$ .

Если и аффилированы, то

$\forall\ x^\prime\ge x, y^\prime\ge y\quad f(x^\prime, y)f(x, y^\prime) \le f(x, y)f(x^\prime, y^\prime)$ .

Преобразуем это соотношение:

$\frac{f(x, y^\prime)}{f(x, y)} \le \frac{f(x^\prime, y^\prime)}{f(x^\prime, y)} \\ \frac{f(y^\prime|x)f(x)}{f(y|x)f(x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)f(x^\prime)}{f(y|x^\prime)f(x^\prime)} \\ \frac{f(y^\prime|x)}{f(y|x)} \le \frac{f(y^\prime|x^\prime)}{f(y|x^\prime)}.$

Последнее равенство означает, что функция отношения правдоподобия

$\frac{f(\cdot | x^\prime)}{f(\cdot | x)}$

возрастает для всех $x^\prime\ge x$ , то есть $F(\cdot | x^\prime)$ доминирует над $F(\cdot | x)$ в терминах отношения правдоподобия для всех $x^\prime\ge x$ . А значит, по предложению 9.2, $F(\cdot | x^\prime)$ в таких случаях доминирует над $F(\cdot | x)$ и в терминах доли риска, и в терминах обратной доли риска, и стохастически.

Из стохастического доминирования следует, что для всех функция $F(y | \cdot)$ является неубывающей (поскольку стохастическое доминирование означает, что $F(y | x^\prime) \ge F(y | x)$ для любых $x^\prime>x$ ). А это, в свою очередь, означает, что условное математическое ожидание $\mathbf E[Y | X = x^\prime]$ тоже является неубывающим как функция от . Отсюда, в частности, следует, что в таком случае величины и положительно коррелируют (так мы доказали, что аффилированность — более сильное понятие, чем положительная корреляция). На самом же деле верно и более сильное утверждение: для всякой неубывающей функции $\gamma$ условное ожидание

$\mathbf E[\gamma(Y) | X = x ]$

не убывает как функция от (оставляем доказательство читателю в качестве упражнения).

Итак, вернемся теперь к нашим аукционам. Если сигналы агентов $X_1,\ldots,X_N$ аффилированы, то, следовательно, $X_1,Y_1,\ldots,Y_{N-1}$ также будут аффилированы.

Пусть X_1 и Y_1 аффилированы. Если $G(\cdot | x)$ — это распределение Y_1 , то при условии, что X_1=x и $x^\prime>x$ , $G(\cdot | x^\prime)$ доминирует над $G(\cdot | x)$ в терминах обратной доли риска: