Автор: Александр Холодов | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
 
Уровень:
Профессионал
Длительность:
3:00:00
Студентов:
385
Выпускников:
13
В качестве основного подхода к построению разностных схем для простейших (модельных) уравнений принят известный метод неопределенных коэффициентов (позволяющий рассматривать достаточно обширные семейства схем), дополненный анализом этих семейств в пространствах неопределенных коэффициентов и сеточных функций. Анализ разностных схем в пространстве коэффициентов неопределенных (предложенный А.С.Холодовым в 1978г.) оказался достаточно универсальным и весьма конструктивным средством не только для качественного сравнения различных схем (типа: устойчива – неустойчива, монотонна – немонотонна, первого – второго порядка аппроксимации и т.п.) но, в определенном смысле, и количественного их сопоставления.
Поскольку курс в целом ориентирован на методы решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, характерной чертой которых являются разрывные решения (для уравнений гиперболического типа), области больших градиентов (“пограничные слои”) и т.п., достаточно большое внимание уделено построению монотонных (мажорантных) схем. При переходе от модельных уравнений к линейным системам и нелинейным уравнениям в курсе активно используются характеристические свойства уравнений гиперболического типа и аналогичные методы расщепления для других типов уравнений, интегро-интерполяционный метод (метод интегрального тождества) и другие эффективные способы обобщения схем с сохранением заложенных в модельные схемы свойств.
Специальности: Программист, Математик
 

План занятий

Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Критерии монотонности разностных схем
Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных коэффициентов (схемы с положительной аппроксимацией). Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Невозможность построения линейных, монотонных по Фридрихсу схем с порядком аппроксимации выше первого (теорема Годунова).
Оглавление
-
Разностные схемы в пространстве сеточных функций
Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на случай многослойных и неявных сеточных шаблонов. Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации для многослойных и нерасширяющихся сеточных шаблонов.
-
Обобщение разностных схем на многомерный случай
Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным в случае канонической области интегрирования. Методы на неструктурированных сетках для решения в сложных, в том числе многосвязных областях.
-
Квазилинейные параболические уравнения и системы
Расщепление по "физическим процессам". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач. Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности. Условия аппроксимации и устойчивости.
Оглавление
-
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности
Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией) с порядком аппроксимации O(dt,dr^2) и O(dt^2,dr^2). Обобщение разностных схем для уравнения теплопроводности на случай квазилинейных уравнений и систем параболического типа.
-
Консервативные схемы для уравнений и систем параболического типа
Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным.
-
Некоторые численные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений
Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и нерегулярных (неструктурированных) сеток.
-
Примеры решения модельных и прикладных задач
Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения мелкой воды, интенсивного дорожного движения, электроэнергетических сетей, дыхательной и кровеносной систем человека. Примеры расчетов модельных уравнений различными схемами: явная схема Куранта–Изаксона–Риса и ее консервативные варианты. Схемы П.Лакса, Лакса–Вендроффа, Маккормака, Бима–Уорминга, Русанова, трехслойная схема Головизнина. Неявные схемы Карлсона, Ландау–Меймана–Халатникова, Бабенко. Гибридные схемы и схемы со сглаживанием (Федоренко, Бориса – Бука, TVD-схемы). Высокоточные нелинейные монотонные схемы. Некоторые задачи, моделируемые уравнениями магнитогазодинамики, упруго-деформируемых тел и др.
Оглавление
-
1 час 40 минут
-