Деревья

Данная лекция будет посвящена изучению и реализации на Прологе такой структуры данных, как деревья.

Начнем с маленького введения из теории графов, частным случаем которых являются деревья.

Обычно графом называют пару множеств: множество вершин и множество дуг (множество пар из множества вершин).Различают ориентированные и неориентированные графы. В ориентированном графе каждая дуга имеет направление (рассматриваются упорядоченные пары вершин). Графически обычно принято изображать вершины графа точками, а связи между ними - линиями, соединяющими точки-вершины.

Путем называется последовательность вершин, соединенных дугами. Для ориентированного графа направление пути должно совпадать с направлением каждой дуги, принадлежащей пути . Циклом называется путь, у которого совпадают начало и конец.

Две вершины ориентированного графа, соединенные дугой, называются отцом и сыном (или главной и подчиненной вершинами). Известно, что если граф не имеет циклов, то обязательно найдется хотя бы одна вершина, которая не является ничьим сыном. Такую вершину называют корневой. Если из одной вершины достижима другая, то первая называется предком, вторая - потомком.

Деревом называется граф, у которого одна вершина корневая, остальные вершины имеют только одного отца и все вершины являются потомками корневой вершины.

Листом дерева называется его вершина, не имеющая сыновей. Кроной дерева называется совокупность всех листьев . Высотой дерева называется наибольшая длина пути от корня к листу .

Нам будет удобно использовать следующее рекурсивное определение бинарного дерева: дерево либо пусто, либо состоит из корня, а также левого и правого поддеревьев, которые в свою очередь также являются деревьями.

В вершинах дерева может храниться информация любого типа. Для простоты в этой лекции будем считать, что в вершинах дерева располагаются целые числа. Тогда соответствующее этому определению описание альтернативного домена будет выглядеть следующим образом:

DOMAINS
tree=empty;tr(i,tree,tree) 
        /* дерево либо пусто, либо 
         состоит из корня (целого числа), 
         левого и правого поддеревьев, 
         также являющихся деревьями */

Заметим, что идентификатор empty не является зарезервированным словом Пролога. Вместо него вполне можно употреблять какое-нибудь другое обозначение для пустого дерева. Например, можно использовать для обозначения дерева, не имеющего вершин, идентификатор nil, как в Лиспе, или void, как в Си. То же самое относится и к имени домена (и имени функтора): вместо tree (tr) можно использовать любой другой идентификатор.

Например, дерево

можно задать следующим образом:

tr(2,tr(7,empty, empty),tr(3,tree(4,empty,empty),
 tr(1,empty,empty))).

Теперь займемся написанием предикатов для реализации операций на бинарных деревьях.

Пример. Начнем с реализации предиката, который будет проверять принадлежность значения дереву. Предикат будет иметь два аргумента. Первым аргументом будет исходное значение, вторым - дерево, в котором мы ищем данное значение.

Следуя рекурсивному определению дерева, заметим, что некоторое значение принадлежит данному дереву, если оно либо содержится в корне дерева, либо принадлежит левому поддереву, либо принадлежит правому поддереву. Других вариантов нет.

Запишем это рассуждение на Прологе.

tree_member(X,tr(X,_,_)):-!. /* X - является корнем 
            дерева */
tree_member(X,tr(_,L,_)):-
     tree_member(X,L),!. /* X принадлежит 
              левому поддереву */
tree_member(X,tr(_,_,R)):-
     tree_member(X,R). /* X принадлежит 
             правому поддереву */

Пример. Разработаем предикат, который будет заменять в дереве все вхождения одного значения на другое. У предиката будет четыре аргумента: три входных (значение, которое нужно заменять; значение, которым нужно заменять; исходное дерево ), четвертым - выходным - аргументом будет дерево, полученное в результате замены всех вхождений первого значения на второе.

Базис рекурсивного решения будет следующий. Из пустого дерева можно получить только пустое дерево. При этом абсолютно неважно, что на что мы заменяем. Шаг рекурсии зависит от того, находится ли заменяемое значение в корне дерева. Если находится, то нужно заменить корневое значение вторым значением, после чего перейти к замене первого значения на второе в левом и правом поддереве. Если же в корне содержится значение, отличное от заменяемого, то оно должно остаться. Замену нужно произвести в левом и правом поддеревьях.

tree_replace(_,_,empty,empty). /* пустое дерево 
              остается пустым деревом*/
tree_replace(X,Y,tr(X,L,R),tr(Y,L1,R1)):- 
          /* корень содержит заменяемое 
            значение X*/
      !,tree_replace(X,Y,L,L1), 
          /* L1 - результат замены 
            в дереве L всех вхождений X 
            на Y */
      tree_replace(X,Y,R,R1). 
          /* R1 - результат замены 
            в дереве R всех вхождений X 
            на Y */
tree_replace(X,Y,tr(K,L,R),tr(K,L1,R1)):- 
          /* корень не содержит 
            заменяемое значение X */
      tree_replace(X,Y,L,L1), 
          /* L1 - результат замены 
            в дереве L всех вхождений X 
            на Y */
      tree_replace(X,Y,R,R1). 
          /* R1 - результат замены 
            в дереве R всех вхождений X 
            на Y */