Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 12:

Обработка результатов эксперимента. Интерполяция функций

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345

12.1.2 Полином Ньютона

И. Ньютон предложил интерполирующую функцию записать в виде следующего полинома n-й степени:

F(t)=A_0+A_1(t-x0)+A_2(t-x_0)(t-x_1)+\cdots+A_n(t-x_0)(t-x_1)...(t-x_n11) ( 12.5)
Таблица 12.1. Таблица разделённых разностей полинома Ньютона
x f(x) 1 2 3 4 ... n
x_0 y_0
x_1 y_1 y_{01}
x_2 y_2 y_{01} y_{02} y_{012}
x_3 y_3 y_{03} y_{013} y_{0123}
x_4 y_4 y_{04} y_{014} y_{0124} y_{01234}
... ... ... ... ... ... ... ...
x_n y_n y_{0n} y_{01n} y_{012n} y_{0123n} ... y_{012...n}

Подставим F(x_0)=y_0 в (12.5) и вычислим значение коэффициента A_0:A_0=y_0

Подставим F(x_1)=y_1 1) в (12.5), после чего получим соотношение для вычисления A_1:F(x_1)=A_0+A_1(x_1-x_0)=y_1

Отсюда коэффициент A_1 рассчитывается по формуле: A_1=\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}=y_{01}, где y_{01} — разделённая разность первого порядка, которая стремится к первой производной функции при x_1\to x_0. По аналогии вводятся и другие разделённые разности первого порядка: y_{02}=\frac{y_0-y_2}{x_0-x_2},y_{03}=\frac{y_0-y_3}{x_0-x_3},...,y_{0n}=\frac{y_0-y_n}{x_0-x_n}

Подставим соотношение F(x_2)=y_2 в (12.5), в результате чего получим:

A_0+A_1(x_1-x_0)+A_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=y_2,\\y_0+y_{01}(x_2-x_0)+A_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=y_2.

Отсюда A_2 вычисляется по формуле A_2=y_{012}=\frac{y_{01}-y_{02}}{x_1-x_2}, здесь y_{012}— разделённая разность второго порядка, эта величина стремится ко второй производной при x_1\to x_2. Аналогично вводятся y_{013}=\frac{y_{01}-y_{03}}{x_1-x_3},y_{014}=\frac{y_{01}-y_{04}}{x_1-x_4},...,y_{01n}=\frac{y_{01}-y_{0n}}{x_1-x_n}.

Подставим F(x_3)=y_3 в (12.5), после чего получим A_3=y_{0123}=\frac{y_{012}-y_{013}}{x_2-x_3}. Аналогично можно ввести коэффициенты y_{0124}=\frac{y_{012}-y_{014}}{x_2-x_4},...,y_{012n}=\frac{y_{012}-y_{01n}}{x_2-x_n}.

Этот процесс будем продолжать до тех пор, пока не вычислим A_n=y_{012...n}=\frac{y_{012...n}-y_{012...n}}{x_{n-1}-x_n}.

Полученные результаты запишем в табл. 12.1

В вычислении по формуле (12.5) будут участвовать только диагональные элементы таблицы (т.е. коэффициенты A_i), а все остальные элементы таблицы являются промежуточными и нужны для вычисления диагональных элементов.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009