Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 9:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.4 Решение систем дифференциальных уравнений

Все рассмотренные методы решения дифференциальных уравнений применимы и для систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим на примере метода Рунге-Кутта, как рассмотренные методы можно обобщить для систем.

Пусть дана система дифференциальных уравнений в матричном виде:

\left\{\begin{aligned}\frac{d\bar{x}}{dt}&=\bar{f}(t,\bar{x})\\
\bar{x}(t_{0})&=\bar{x}_{0} \quad(\text{начальное условие}),
\end{aligned} ( 9.27)
$\left\{\begin{aligned}\frac{d\bar{x}}{dt}&=\bar{f}(t,\bar{x})\\
\bar{x}(t_{0})&=\bar{x}_{0} \quad(\text{начальное условие}),
\end{aligned}$\\ \mbox{где}\bar{x}=\left(\begin{matrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\dots\\x_{n}(t)\end{matrix}\right),\bar{f}(t,\bar{x})=\left(\begin{matrix}f_{1}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\\\hdotsfor{1}\\f_{n}(t,x_{1},x_{2,}\dots,X_{n})\end{matrix}\right),\bar{x}_0=\left(\begin{matrix}x_{1}^{0}\\x_{2}^{0}\\\dots\\x_{n}^{0}\end{matrix}\right).

Задавшись некоторым шагом h и введя стандартные обозначения t_{i}=t_{0}+ih,x_{i}=x(t_{i}), \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i},  i=1,2,\dots, n получим формулы метода Рунге-Кутта для системы:

\left\{
					\begin{aligned}
					\bar{x}_{i+1}&=\bar{x}_i+\Delta \bar{x}_i,i=1,n\\
					\Delta\bar{x}_{i}&=\frac{h}{6}(\bar{K}_{1}^{i}+2\bar{K}_{2}^{i}+2\bar{K}_{3}^{i}+\bar{K}_{4}^{i})\\
					\bar{K}_{1}^{i}&=\bar{f}(t_{i},\bar{x}_{i})\\
					\bar{K}_{2}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+\frac{h}{2},\bar{x}_{i}+\frac{h}{2}\bar{K}_{1}^{i})\\
					\bar{K}_{3}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+\frac{h}{2},\bar{x}_{i}+\frac{h}{2}\bar{K}_{2}^{i})\\
					\bar{K}_{4}^{i}&=\bar{f}(t_{i}+h,\bar{x}_{i}+h\bar{K}_{3}^{i})
					\end{aligned}
					\right.
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009