Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 9:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.2.4 Решение дифференциальных уравнений методом прогноза-коррекции Адамса

Рассмотрим решение уравнения (9.1)–(9.2) на интервале [t_{i},t_{i+1}]. Будем считать, что решение в точках t_{0},t_{1},t_{2},\dots,t_{i} уже найдено, и значения в этих точках будем использовать для нахождения значения x(t_{i+1}).

Проинтегрируем уравнение (9.1) на интервале [t_{i},t_{i+1}] и получим соотношение [2]

x(t_{i+1})=x(t_{i})+\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}f(t,x(t))\,dt ( 9.20)

При вычислении интеграла, входящего в (9.20), вместо функции f (t, x(t)) будем использовать интерполяционный полином Лагранжа,построенный по точкам (t_{i-3},x_{i-3}), (t_{i-2},x_{i-2}), (t_{i-1},x_{i-1}),(t_{i},x_{i}). Подставив полином Лагранжа в (9.20), получаем первое приближение (прогноз) \tilde{x}_{i+1} для значения функции в точке t_{i+1}

\tilde {x}_{i+1}=x_{i}&+\frac{h}{24}(-9f(t_{i-3},x_{i-3})+37f(t_{i-2},x_{i-2})-\\&-59f(t_{i-1},x_{i-1})+55f(t_{i},x_{i})) ( 9.21)

Как только \tilde{x}_{i+1} вычислено, его можно использовать. Следующий полином Лагранжа для функции f (t, x(t)) построим по точкам (t_{i-2},x_{i-2}),(t_{i-1},x_{i-1}),(t_{i},x_{i}) и новой точке (t_{i+1},\tilde{x}_{i+1}), после чего подставляем его в (9.20) и получаем второе приближение (корректор)

x_{i+1}=x_{i}+\frac{h}{24}(&f(t_{i-2},x_{i-2})-5f(t_{i-1},x_{i-1})+\\&+19f(t_{i},x_{i})+9f(t_{i+1},\tilde{x}_{i+1})) ( 9.22)

Таким образом, для вычисления значения x(t_{i+1}) методом Адамса необходимо последовательно применять формулы (9.21), (9.22) [2], а первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта.

9.2.5 Решение дифференциальных уравнений методом Милна

Отличие метода Милна от метода Адамса состоит в использовании в качест ве интерполяционного полинома Ньютона.

Подставив в (9.20) вместо функции f (t, x(t)) интерполяционный полином Ньютона, построенный по точкам (t_{k-3},x_{k-3}),(t_{k-2},x_{k-2}),(t_{k-1},x_{k-1}),(t_{k},x_{k}) получаем первое приближение — прогноз Милна \tilde {{x_{k+1}}} для значения функции в точке t_{k+1}[2]

\tilde {x}_{k+1}=x_{k-3}+\frac{4h}{3}(2f(t_{k-2},x_{k-2})-f(t_{k-1},x_{k-1})+2f(t_{k},x_{k})) ( 9.23)

Следующий полином Ньютона для функции f (t, x(t)) построим по точкам (t_{k-2},x_{k-2}),(t_{k-1},x_{k-1}),(t_{k},x_{k}) и новой точке (t_{k+1},\tilde{x}_{k+1}), после чего подставляем его в (9.20) и получаем второе приближение — корректор Милна [2]

x_{k+1}=x_{k-1}+\frac{h}{3}(f(t_{k-1},x_{k-1})+4f(t_{k},x_{k})+f(t_{k+1},\tilde{x}_{k+1})) ( 9.24)

В методе Милна для вычисления значения x(t_{k+1}) необходимо последовательно применять формулы (9.23), (9.24), а первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта.

Существует модифицированный метод Милна. В нём сначала вычисляется первое приближение по формуле (9.23), затем вычисляется управляющий параметр [2]

m_{k+1}=\tilde {x}_{k+1}+\frac{28}{29}(x_{k}-\tilde {x}_{k}) ( 9.25)

После чего вычисляется значение второго приближения — корректор Милна по формуле

x_{k+1}=x_{k-1}+\frac{h}{3}(f(t_{k-1},x_{k-1})+4f(t_{k},x_{k})+f(t_{k+1},m_{k+1})) ( 9.26)

В модифицированном методе Милна первые четыре точки можно получить методом Рунге-Кутта, а для вычисления значения x(t_{k+1}) необходимо последовательно применять формулы (9.23), (9.25), (9.26).

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009