Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 9:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.2.2 Решение дифференциальных уравнений при помощи модифицированного метода Эйлера

Более точным методом решения задачи (9.4)–(9.5) является модифицированный метод Эйлера, при котором сначала вычисляют промежуточные значения [2]

t_p=t_i+\frac{h}{2},\ x_p=x_i+\frac{h}{2}f(x_i,t_i) ( 9.12)

после чего находят значение x_{i+1} по формуле

x_{i+1}=x_i+hf(x_p,t_p),\quad i=0,1,\dots, n-1 ( 9.13)

9.2.3 Решение дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта

Рассмотренные выше методы Эйлера (как обычный, так и модифицированный) являются частными случаями явного метода Рунге-Кутта k-го порядка. В общем случае формула вычисления очередного приближения методом Рунге-Кутта имеет вид [2]:

x_{i+1}=x_i+h\varphi (t_i,x_i,h),\quad i=0,1,\dots, n-1 ( 9.14)

Функция \varphi (t,x,h) приближает отрезок ряда Тейлора до k-го порядка и не содержит частных производных f (t, x) [2].

Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта первого порядка (k = 1) и получается при

\varphi (t,x,h) = f (t,x)
.

Семейство методов Рунге-Кутта второго порядка имеет вид [2]

x_{i+1}&=x_i+h\Biggl((1-\alpha )f(t_i,x_i)+\alpha f\left(t_i+
				 \frac{h}{2\alpha },x_i+\frac{h}{2\alpha}f(t_i,x_i)\right)\Biggr),\\
				 i&=0,1,\dots, n-1 ( 9.15)

Два наиболее известных среди методов Рунге-Кутта второго порядка [2] — это метод Хойна \alpha=\frac{1}{2} и модифицированный метод Эйлера \alpha=1.

Подставив \alpha=\frac{1}{2}в формулу (9.15), получаем расчётную формулу метода Хойна [2]:

x_{i+1}=x_i+\frac{h}{2}\left(f(t_i,x_i)+f(t_i+h,x_i+hf(t_i,x_i))\right),\quad i=0,1,\dots, n-1

Подставив \alpha=1 в формулу (9.15), получаем расчётную формулу уже рассмотренного выше модифицированного метода Эйлера

x_{i+1}=x_i+h\Biggl(f\left(t_i+\frac{h}{2},x_i+\frac{h}{2}f(t_i,x_i)\right)\Biggr),\quad i=0,1,\dots, n-1

Наиболее известным является метод Рунге-Кутта четвёртого порядка, расчётные формулы которого можно записать в виде [2]:

\left\{
				 \begin{aligned}
				 x_{i+1} &=x_i+\Delta x_i,\quad i=1,\dots, n\\
				 \Delta x_i &=\frac{h}{6}(K_1^i+2K_2^i+2K_3^i+K_4^i)\\
				 K_1^i &=f(t_i,x_i)\\
				 K_2^i &=f(t_i+\frac{h}{2},x_i+\frac{h}{2}K_1^i)\\
				 K_3^i &=f(t_i+\frac{h}{2},x_i+\frac{h}{2}K_2^i)\\
				 K_4^i &=f(t_i+h,x_i+hK_3^i)
				 \end{aligned}
				 \right.

Одной из модификаций метода Рунге-Кутта является метод Кутта-Мерсона (или пятиэтапный метод Рунге-Кутта четвёртого порядка), который состоит в следующем [2].

  1. i-м шаге рассчитываются коэффициенты
    \begin{aligned}
					 K_{1}^{i}&=f(t_{i},x_{i})\\
					 K_{2}^{i}&=f(t_{i}+\frac{h}{3},x_{i}+\frac{3}{2}K_{1}^{i})\\
					 K_{3}^{i}&=f(t_{i}+\frac{h}{3},x_{i}+\frac{h}{6}K_{1}^{i}+\frac{h}{6}K_{2}^{i})\\
					 K_{4}^{i}&=f(t_{i}+\frac{h}{2},x_{i}+\frac{h}{8}K_{1}^{i}+\frac{3h}{2}K_{2}^{i})\\
					 K_{5}^{i}&=f(t_{i}+h,x_{i}+\frac{h}{2}K_{1}^{i}-\frac{3h}{2}K_{3}^{i}+2hK_{4}^{i})
					 \end{aligned} ( 9.16)
  2. Вычисляем приближённое значение x(t_{i+1}) по формуле
    \tilde {{x}}_{i+1}=x_{i}+\frac{h}{2}(K_{1}^{i}-3K_{3}^{i}+4K_{4}^{i}) ( 9.17)
  3. Вычисляем приближённое значение x(t_{i+1}) по формуле
    {x}_{i+1}=x_{i}+\frac{h}{6}(K_{1}^{i}+4K_{3}^{i}+K_{5}^{i}) ( 9.18)
  4. оценочный коэффициент по формуле
    R=0.2|x_{i+1}-\tilde {x}_{i+1}| ( 9.19)
  5. Сравниваем R с точностью вычислений \varepsilon. Если
    R\ge \varepsilon
    , то уменьшаем шаг вдвое и возвращаемся к п.1. Если R< \varepsilon, то значение,вычисленное по формуле (9.18), и будет вычисленным значением x(t_{i+1})(с точностью \varepsilon).
  6. переходом к вычислению следующего значения x, сравниваем R с \frac{\varepsilon }{64}. Если R<\frac{\varepsilon }{64}, то дальнейшие вычисления можно проводить с удвоенным шагом h = 2h.

Рассмотренные методы Рунге-Кутта относятся к классу одношаговых методов, в которых для вычисления значения в очередной точке x_{k+1} нужно знать значение в предыдущей точке x_k.

Ещё один класс методов решения задачи Коши — многошаговые методы, в которых используются точки x_{k-3}, x_{k-2}, x_{k-1}, x_{k} для вычисления x_{k+1}. В многошаговых методах первые четыре начальные точки (t_{0},x_{0}),(t_{1},x_{1}),(t_{2},x_{2}),(t_{3},x_{3})должны быть получены заранее любым из одношаговых методов (метод Эйлера, Рунге-Кутта и т.д.). Наиболее известными многошаговыми методами являются методы прогноза-коррекции Адамса и Милна.

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009