Компания ALT Linux
Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 550 / 136 | Длительность: 19:00:00
Лекция 3:

Задачи высшей математики с Maxima

3.4 Экстремумы функций

3.4.1 Отыскание максимумов и минимумов

Точки, где достигается наибольшее или наименьшее значение функции называются соответственно точками максимума или минимума функции.

Определение 1. Точка x_0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x_0 выполняется неравенство f(x)\ge f(x_0) (см. рис. 3.3).

Определение 2. Точка x_1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x_1 выполняется неравенство f(x)\le f(x_1) (см. рис. 3.3).

Значения функции в точках x_0 и x_1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тем самым, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки x_0. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться так, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят имеет глобальный максимум (минимум)).

3.4.1.1 Теорема Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция y = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения в внутренней точке x_0, то тогда производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(x_0) = 0.

Экстремумы функции

увеличить изображение
Рис. 3.3. Экстремумы функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на промежутке X и в точке x_0\in X принимает наименьшее значение (см. рис. 3.4).

Тогда

f(x_0+\Delta x)\ge f(x_0)
если x_0+\Delta x\in X и, следовательно
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\ge 0
при достаточно малых \Delta x и независимо от знака \Delta x.

Поэтому

\frac{\Delta y}{\Delta x}\ge 0\; \mbox{при}\; \Delta x>0\; (\mbox{справа от}\; x_0);
\frac{\Delta y}{\Delta x}\le 0\; \mbox{при}\; \Delta x<0\; (\mbox{слева от}\; x_0).

Иллюстрация теоремы Ферма

Рис. 3.4. Иллюстрация теоремы Ферма

Переходя к пределу справа и слева получим

\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}\ge 0\; \mbox{и}\;
\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}\le 0.
Так как функция дифференцируема на промежутке X, то пределы справа и слева равны
\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}.
Отсюда f'(x_0) = 0.

Аналогичную последовательность рассуждений можно построить и для максимума.

Теорему Ферма часто называют необходимым условием экстремума дифференцируемой функции.

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке экстремума, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

3.4.1.2 Необходимое условие экстремума

Если в точке x_0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняются условия теоремы Ферма, и следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(x_0) = 0. Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция y = |x| имеет экстремум (минимум) в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Функция

y=\sqrt[3]{x^2}
также имеет в точке x = 0 минимум, а ее производная в этой точке бесконечна: y'=\displaystyle{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}},\ y'(0)=\infty.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того чтобы функция y = f(x) имела экстремум в точке x_0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(x_0) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными). Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Пример. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: 1. y=x^2+1; 2. y=x^3-1.

  1. y' = 2x.\ y'(x) = 0 при x = 0. В точке x = 0 функция y = x^2 + 1 имеет минимум.
  2. y' = 3x^2.\ y'(x) = 0 при x = 0. В точке x = 0 функция y = x^3-1 не имеет экстремума. Функция y = x^3-1 возрастает на всей числовой оси.

Итак, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек.

Пример: Исследовать на наличие экстремума следующую функцию

y(x) = x^3 - 3x^2 + 3x+2

Задаём исследуемую функцию

(%i1)	f(x):=x^3-3*x^2+3*x+2;
f\left( x\right) :={x}^{3}-3\,{x}^{2}+3\,x+2\leqno{(\%o1) }

Производную в форме функции определяем явно, используя функцию define

(%i2)	define(df(x),diff(f(x),x));
df\left( x\right) :=3\,{x}^{2}-6\,x+3\leqno{(\%o2) }

Решая уравнение df(x) = 0 (т.е. f'(x) = 0, находим критические точки

(%i3)	solve(df(x)=0,x);
[x=1]\leqno{(\%o3) }

В данном случае критическая точка одна — x = 1.

3.4.1.3 Первое достаточное условие экстремума

Теорема. Если при переходе через точку x_0 производная дифференцируемой функции y = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x_0 есть точка максимума функции y = f(x), а если с минуса на плюс, то — точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (a,x_0) производная положительна (f'(x) > 0), а в некотором интервале (x_0,b) — отрицательна (f'(x) < 0) (см. рис. 3.5). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функция f(x) возрастает на интервале (a,x_0) и убывает на интервале (x_0,b).

По определению возрастающей функции f(x_0)\ge f(x) при всех x\in (a,x_0), а по определению убывающей функции f(x)\le f(x_0) при всех x\in (x_0,b), т.е. f(x_0)\ge f(x) при всех x\in (a,b), следовательно, x_0 — точка максимума функции y = f(x).

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с минуса на плюс.

Отметим, что дифференцируемость функции в самой точке x_0 не использовалась при доказательстве теоремы. На самом деле она и не требуется — достаточно, чтобы функция была непрерывна в точке x_0.

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет. Однако при работе с системами компьютерной математики удобнее второе достаточное условие экстремума.

Необходимое условие экстремума

Рис. 3.5. Необходимое условие экстремума
3.4.1.4 Второе достаточное условие экстремума

Теорема. Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции y = f(x) равна нулю в некоторой точке x_0, а вторая производная в этой точке f''(x_0) положительна, то x_0 есть точка максимума функции y = f(x); если f''(x_0) отрицательна, то x_0 — точка максимума.

Пусть f'(x_0)=0, а ff''(x_0)>0. Это значит, что

f''(x)=(f'(x))'>0
также и в некоторой окрестности точки x_0, т.е. f'(x) возрастает на некотором интервале (a,b), содержащем точку x_0.

Но f'(x_0) = 0, следовательно, на интервале (a,x_0)\ f'(x)<0, а на интервале (x_0,b)\ f'(x)>0, т.е. f'(x) при переходе через точку x_0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. x_0 — точка минимума.

Аналогично рассматривается случай f'(x_0)=0 и f''(x_0)<0.

Продолжим исследование функции

y(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2

Как установлено выше, имеется одна критическая точка: x = 1.

Задаёмся функцией d2f(x)

(%i4)	define(d2f(x),diff(df(x),x));
d2f\left( x\right) :=6\,x-6\leqno{(\%o4) }

Вычисляем значение второй производной в критической точке:

(%i5)	map(d2f,%o3);
[6\,x-6=0]\leqno{(\%o5) }

В данном примере невозможно определить, является ли точка x = 1 экстремумом исследуемой функции, т.к. вторая производная в ней оказалась равной 0. Следует обратить внимание на способ вычисления — функция d2f(x) применяется ко всем элементам списка, полученного при решении уравнения f'(x) = 0 (используется встроенная функция Maxima map).

Воспользуемся первым достаточным признаком наличия экстремума

(%i6)	df(0);
3\leqno{(\%o6) }
(%i7)	df(2);
3\leqno{(\%o7) }

Как видно из приведенного результата, первая производная не изменяет знак в критической точке, что свидетельствует об отсутствии экстремума в ней.

Полученный результат иллюстрируется графиком исследуемой функции и её производных (см. рис. 3.6).

Пример исследования функции

увеличить изображение
Рис. 3.6. Пример исследования функции
3.4.1.5 Схема исследования функции y = f(x) на экстремум

1. Найти производную y' = f'(x).

2. Найти критические точки функции, в которых производная f'(x) = 0 или не существует.

3.1. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

 Или

3.2. Найти вторую производную f''(x) и определить ее знак в каждой критической точке.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию y = x(x - 1)^3.

1. y' = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)^2 = (x - 1)^2(4x - 1).

2. Критические точки x_1 = 1 и x_2=\displaystyle{\frac{1}{4}}.

3. Изменение знака производной при переходе через точку x_1 не происходит, поэтому в этой точке нет экстремума.

y'' = 2(x - 1)(4x - 1) + 4(x - 1)^2 = 2[(x - 1)(6x - 3)].

y''(x_2) > 0, поэтому в этой точке наблюдается минимум функции y = x(x - 1)^3.

4. y_{min}=y\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}\right)=-\displaystyle{\frac{27}{256}}.

Выполним тот же расчёт при помощи Maxima

(%i13)	f(x):=x*(x-1)^3;
f\left( x\right) :=x\,{\left( x-1\right) }^{3}\leqno{(\%o13) }
(%i14)	define(df(x),diff(f(x),x));
df\left( x\right) :=3\,{\left( x-1\right) }^{2}\,x+{\left( x-1\right) }^{3}\leqno{(\%o14) }
(%i15)	solve(df(x)=0,x);
[x=\frac{1}{4},x=1]\leqno{(\%o15) }
(%i16)	define(d2f(x),diff(df(x),x));
d2f\left( x\right) :=6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}\leqno{(\%o16) }
(%i17)	map(d2f,%o15);
[6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}=\frac{9}{4},6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}=0]\leqno{(\%o17) }

В точке x = 1 вторая производная равна 0, поэтому вычисляем значения первой производной слева и справа от x = 1 :

(%i18)	df(2);
7\leqno{(\%o18) }
(%i19)	df(1/3);
\frac{4}{27}\leqno{(\%o19) }

Производная в окрестности точки x = 1 не меняет знак, поэтому экстремум у исследуемой функции один — точка x=\frac{1}{4}. Так как d2f(\frac{1}{4}) > 0,\ x=\frac{1}{4}— точка минимума. Иллюстрация полученного результата — на рис. 3.7.

Пример исследования функции на экстремум

увеличить изображение
Рис. 3.7. Пример исследования функции на экстремум
3.4.1.6 Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Наибольшее или наименьшее значение функции на некотором отрезке может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Пусть функция y = f(x) определена на некотором отрезке [a,b].

Нахождение наибольших и наименьших значений функций происходит по следующей схеме.

1. Найти производную f'(x).

2. Найти критические точки функции, в которых f'(x_0) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее f_{MAX} и наименьшее f_{MIN} значения. Это и будут наибольшее и наименьшее значение функции на исследуемом отрезке.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y =3x^2 - 6x на отрезке [0, 3].

Аналитический расчёт:

1. y' = 6x - 6 ;y'' = 6.

2. x_0 = 1.

3. y(1) = -3 ; y(0) = 0 ; y(3) = 9.

В точке x = 1 наименьшее значение функции, а в точке x = 3 — наибольшее.

Расчёт с использованием Maxima:

Находим критические точки исследуемой функции

(%i29)	f(x):=3*x^2-6*x;
f\left( x\right) :=3\,{x}^{2}-6\,x\leqno{(\%o29) }
(%i30)	define(df(x),diff(f(x),x));
df\left( x\right) :=6\,x-6\leqno{(\%o30) }
(%i31)	solve(df(x)=0,x);
[x=1]\leqno{(\%o31) }

Результат расчёта — список, включающий один элемент ([x = 1]).

Создаём новый список, включающий граничные значений и критические точки:

(%i32)	L:[%o31[1],x=0,x=3];
[x=1,x=0,x=3]\leqno{(\%o32) }

Применяем функцию f(x) к каждому элементу списка L:

(%i33)	map(f,L);
[3\,{x}^{2}-6\,x=-3,3\,{x}^{2}-6\,x=0,3\,{x}^{2}-6\,x=9]\leqno{(\%o33) }

Результат — наибольшие и наименьшие значения — находим в списке полученных значений.