Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 310 / 11 | Длительность: 34:17:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 8:

Системотехнические аспекты перспективных компьютерных технологий

7.3. Базовые модели квантовых компьютеров

В квантовых компьютерах ( КК ) основная ставка делается на предельный и недостижимый в субмикронной электронике режим распараллеливания вычислений на физико-техническом уровне их организации. Авторы идеи использования квантовых процессов при вычислениях [177, 178] исходили из того, что состояние квантовой системы из \theta двухуровневых элементов (кубитов) можно описать некоторой когерентной суперпозицией из 2^{\theta} булевых состояний, так как в отличие от классических физических систем состояние квантовой системы описывается вектором состояния в 2^{\theta} -мерном гильбертовом пространстве. Это автоматически приводит к тому, что в КК коэффициент распараллеливания вычислений только на физическом уровне равен 2^{\theta}. Однако для использования таких потенциальных возможностей КК необходимо [94, 193]:

  1. Выделить и зафиксировать в пространстве в кубитов (синтезировать "рабочее тело" КК ) и с помощью избирательных воздействий перевести его в конечное состояние , которое отвечает результату выполненного алгоритма.
  2. Обеспечить циклическую инициализацию или установку входного \theta -кубитного регистра в исходное основное базисное состояние |0_1,0_2,0_3,\ldots,0_{\theta}>. Здесь |0_1,0_2,0_3,\ldots,0_{\theta}> - \theta -мерный вектор состояния по Дираку, представляемый матрицей-столбцом в 0-мерном гильбертовом пространстве.
  3. Обеспечить помехоустойчивость выполняемых преобразований и по максимуму подавить декогерентизацию квантовых состояний, которая обусловлена взаимодействиями квантового "рабочего тела" с внешней средой, в том числе и паразитными.
  4. Выбрать квантовое "рабочее тело" таким образом, чтобы между составляющими его кубитами имели место только определенные нелинейные взаимодействия, обеспечивающие выполнение одно- и двухкубитовых операций (купирование только функционально значимых нелинейных взаимодействий между кубитами).
  5. Обеспечить надежное измерение (идентификацию) конечного состояния квантового "рабочего тела".

При переходе в квантовую область сохраняются основные положения классической теории передачи, хранения и преобразования информации Винера - Шеннона [14, 15] с той разницей, что в КК энтропия служит мерой неопределенности измерения (идентификации) фактического состояния квантовой системы, которое характеризуется волновой функцией Шредингера \Psi(x,t), если квантовая система полностью изолирована от окружающей среды (замкнута). Здесь x - полный набор всех непрерывных и дискретных переменных, характеризующих состояние квантовой системы, которыми, в частности, могут быть координаты и спиновые моменты всех частиц, составляющих систему. Такие состояния принято называть чистыми (когерентными) [94], и в КК каждый составляющий кубит может находиться в одном из двух таких состояний: \Psi_{0}(x,t) или \Psi_{1}(x,t), первое из которых условно считается "нулевым", а второе - "единичным".

Для описания чистых состояний квантовой системы можно использовать вектор состояния Дирака |\Psi(t)>, который представляет собой матрицу-столбец в гильбертовом пространстве и имеет размерность, равную числу чистых состояний квантовой системы (в случае кубита вектор состояния Дирака имеет размерность 2).

Любое взаимодействие квантовой системы с внешней средой (в том числе и через входные и выходные интерфейсы КК ) приводит к флуктуа-циям ее макроскопических характеристик, необратимым процессам диссипации энергии в ней и, как следствие, к разрушению квантовой когерентности, именуемой декогерентизацией [94]. При достижении квантовой системы термодинамического равновесия с внешней средой ее состояние считается смешанным (некогерентным) и описывается не волновой функцией, а положительно определенным оператором (матрицей) плотности \hat{\rho}(t) = |\Psi(f)>*<\Psi(f)| который является результатом усреднения аналогичного оператора замкнутой системы по неконтролируемым состояниям внешней среды, которые в совокупности образуют более "общую" замкнутую систему Здесь <\Psi(f)| - эрмитово-сопряженный вектор состояния системы.

Сохранение когерентности суперпозиции состояний кубитов составляет центральную физико-техническую проблему создания реальных КК. При этом требуется, чтобы время декогерентизации было больше, чем время реализации алгоритма, то есть T_{d} > Lp*\tau_c. Как показывает опыт МКМД-бит-потоковых вычислительных технологий, для реализации слов- и поток-инструкций требуется Lp \ge 10^{4} бит-инструкций, откуда следует, что время декогерентизации должно превосходить время выполнения основных квантовых операций на четыре и более порядков.

Центральная системотехническая проблема создания КК состоит в том, что для описания поведения \theta -кубитного регистра требуется задать 2^{\theta } комплексных чисел, что практически исключает возможность моделирования когерентных суперпозиций на основе традиционных ЭВМ уже при \theta = 10^{2}-10^{3}. Объясняется это тем, что размерность пространства состояний квантового "рабочего тела" из 10^{2}-10^{3} кубитов составляет величины порядка 10^{30}-10^{300}. Отсюда следует, что схемотехническое моделирование квантового "рабочего тела" из сотен и более кубитов практически невозможно с использованием традиционных инструментальных ЭВМ. Для этого требуются компьютеры на основе квантовых логических вентилей, работа которых описывается в 2^{\theta } - мерном гильбертовом пространстве, то есть инструментальная ЭВМ также должна быть квантовой и фактически идентичной создаваемой.

Перспективы использования КК в основном связывают [94] с решением так называемых NP- полных задач, где на основе квантовых вычислений можно достичь экспоненциального ускорения. Такие задачи принято считать не вычисляемыми на классических компьютерах из-за того, что в них время решения полиномиально зависит от размерности задачи \theta. К классу NP- полных относятся задачи, для которых трудно найти решение, но очень просто его проверить. Отсюда следует, что программно-аппаратные инструментальные платформы для КК удобнее строить на базе нейрокомпьютерных технологий, где в процессе обучения материнской нейро-ЭВМ можно использовать методы проб и ошибок, основанные на направленном или случайном переборе возможных вариантов решения поставленной задачи.

В идеале центральную физико-техническую проблему декогеренти-зации КК можно решить[94, 194, 195] на основе логически и термодинамически обратимых вентилей, в которых энергия, затраченная на переключение из одного когерентного состояния в другое, рассеивается только за счет необратимых периферийных процессов ввода информации в КК и считывания (идентификации) результата на его выходе.

В теории информации в качестве термодинамического предела для энергии переключения классического вентиля (P*\tau)_{min}   принято считать предельное значение работы \Delta F _{in}, которую необходимо выполнить для того, чтобы перевести вентиль в состояние, отличное от исходного. Поэтому на 1 бит информационной энтропии [94] необходимо затратить ( P*\tau)_{min}  = \Delta F_{min}   = kT*\ln{2}\approx 3*10^{-21}(T/300K) Дж/бит, где k = 1,380662*10^{-23} Дж*К-1 - постоянная Больцмана, P - мощность, расходуемая в процессе переключения, а \tau - время переключения вентиля. Однако в этом случае высока вероятность ложного срабатывания вентиля за счет тепловых флуктуаций p\approx exp(-F_{min}  /kT) = 0,5, то есть такие энергетические затраты приводят к максимальной неопределенности при оценке текущего состояния вентиля. Поэтому в качестве классического термодинамического предела для энергии переключения выбрана величина с более чем 6-кратным запасом ( P*\tau)_{min} = 4kT ^2*10^{-20}(T/300K) Дж/бит, которой соответствует p\approx0,02.

В этом случае при увеличении количества информации внутри системы на 1 бит ее внутренняя энергия должна увеличиться на \Delta U = kT*(4-ln2) > kT, что приводит к ее накоплению в квантовой системе пропорционально росту числа вентилей, частоте и продолжительности их работы.

Отсюда встает задача преодоления квазиклассического термодинамического барьера и построения термодинамически и логически обратимого КК. Из приведенных соотношений видно, что стирание 1 бита информации увеличивает энтропию квантовой системы на величину \Delta S = k\ln{2}, что приводит к рассеянию энергии и выделению тепла \Delta Q_{min} = T*\Delta S = (P*\tau)_{min} = kT*\ln{2}. В результате логически необратимая операция одновременно является и термодинамически необратимой [94]. Это говорит о том, что вентили реальных КК можно сделать только логически обратимыми, а их термодинамическую обратимость можно считать только условной и ее можно выдерживаться только при определенных условиях и на ограниченных интервалах времени. Для этого можно использовать адиабатическую динамическую логику [94, 196], в рамках которой частота переключательных процессов настолько мала, что обеспечивается релаксация всех составляющих вентилей в квазиравновесное состояние. Это позволяет считать вычислительный процесс адиабатическим, в котором энергия не рассеивается, а минимальная работа переключения практически полностью расходуется на изменение внутренней энергии квантового "рабочего тела" (W_{min}= \Delta U_{min}, которую можно возвратить для полезного использования в последующих циклах его "возбуждения". Однако и в этом случае не удается полностью исключить диссипацию энергии [94, 197], что не является обязательным условием сохранения логической необратимости.

Компромиссное решение состоит в том, чтобы логически обратимым считать тот вентиль, в котором по сигналам на выходе можно однозначно восстановить значение сигналов на его входах. Такие логически, но не термодинамически обратимые вентили были предложены в рамках консервативной логики [94, 198], основу которой образуют (рис. 7.5) вентили дважды контролируемого "НЕ" ( CCNOT ) и контролируемого обмена ( SWAP ).

Эти вентили имеют по три входа и выхода, обладают базисным свойством в том смысле, что на их основе можно представить любую логическую функцию от большего числа переменных, а логически обратимый характер выполняемых ими преобразований задается правилами табл. 7.1. По аналогичной схеме можно выполнить и "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ" ( CNOT ), которое базисным свойством не обладает, но широко используется в вычислительной технике (см. рис. 7.5-с).

Схемы обратимых квантовых вентилей

Рис. 7.5. Схемы обратимых квантовых вентилей

В основу квантовых вентилей (кубитов) можно положить достаточно широкий спектр реальных квантовых процессов [94]:

  • захват ионов, лежащих на низкоэнергетических уровнях, ионными ловушками, сформированными в вакууме с помощью электромагнитных полей определенной конфигурации, с лазерным охлаждением самих ионов до микрокельвиновских температур;
  • преобразования ядерных полуцелых спинов и эффекты ядерного магнитного резонанса (ЯМР);
  • преобразования макроскопических квантовых состояний сверхпроводящих устройств;
  • взаимодействия двух спиновых или двух орбитальных электронных состояний в квантовых точках;
  • квантовые эффекты в электродинамических полостях и фотонных кристаллах и т. д.
Таблица 7.1. Таблицы истинности логических функций CCNOT и CSWAP
а b с CCNOT CSWAP
а b с а b с
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 1 1 1

Несмотря на такое разнообразие квантовых процессов, используемых в реальных и реалистичных КК, уже сейчас можно выделить достаточно узкий класс математических моделей (преобразований), описывающих эти процессы. Основное внимание уделяется двум типам квантовых операторов и соответствующих им квантовых вентилей (излагается по [94]). К первым относят различные операторы, которые выполняют одно-кубитовые повороты вектора состояния кубита в двухмерном гильбертовом пространстве:

  • оператор Паули, в соответствии с которым работают вентили типа NOT, выполняющие операции поворота спина \hat{\sigma}:
    NOT =  \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
 \end{pmatrix}= \hat{\sigma}_x ( 7.6)
  • оператор Адамара \hat{H}, который выполняет совпадающую с обратной (самообратимую) операцию формирования суперпозиции состояний:
    \hat{H}|0> = \hat{H}\left ( \begin{array}{c}1\\0\end{array}\right )=\sqrt{1/2}\left ( \begin{array}{c}1\\1\end{array}\right ) = \sqrt{1/2}(|0> + |1>);\\
\hat{H}|1> = \hat{H}\left (\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right )=\sqrt{1/2}\left (\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right ) = \sqrt{1/2}(|0> - |1>);

    что соответствует

    \hat{H}|x>=\sqrt{1/2}\sum_{y=0.1}{(-1)^{x*y}|y>}

    и описывается матрицей

    \hat{H}=\sqrt{1/2}\left (\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right ) = \sqrt{1/2}(\hat{\sigma}_z + \hat{\sigma}_x); ( 7.7)

Суперпозиция двузначных (булевых) состояний в регистре из N = 2^{\theta} кубитов описывается оператором Уолша - Адамара, который представляет собой прямое произведение однокубитовых операторов Адамара: \hat{W} = \hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\otimes\ldots\hat{H}_i\otimes... \hat{H}_{\delta} и для него

\hat{W}|x>=N\sum_{y=0}^{N-1}{(-1)^{x*y}|y>} ( 7.8)

Где x, y - цепочки из N = 2^{\theta} состояний \theta -кубитов, а x*y - побитное скалярное произведение этих цепочек по модулю 2:

х*у= \sum_{i=0}^{N-1}{x_{i}\Lambda y_{i}}.

Двухкубитовые операторы и соответствующие им квантовые вентили выполняют повороты в гильбертовом пространстве двух кубитов, взаимодействие между которыми невозможно представить прямым произведением однокубитовых поворотов. Основным вентилем этого типа является CNOT рис. 7.5-с, который совместно с однокубтовыми операторами образует операционный базис для всех унитарных операций, выполняемых квантовой системой из более двух кубитов, и который можно представить матрицей 4*4:


В этом двухкубитовом вентиле кубит A является контролирующим и описывается симметричной матрицей, так как его схема симметрична относительно входов-выходов. Квантовый вентиль B является контролируемым и выполняет контролируемую инверсию ( NOT ) при А = |1>, то есть, как и в МКМД-бит-потоковых вычислительных технологиях, операция XOR используется как условная инверсия. Этот же вентиль можно использовать для копирования или неразрушающего измерения состояния контролирующего кубита A, так как при |b > = 0 |b' > = |a >.

Физический смысл преобразований, выполняемых квантовым вентилем CNOT, проще всего установить из эквивалентной схемы


где составляющие преобразования выполняются слева направо, H - однокубитовый вентиль Адамара, а

двухкубитовый оператор контролируемого (избирательного) изменения фазы, который в данном случае осуществляет сдвиг фазы нал и только состояния |1,1>: |1,1> \to - |1,1>, оставляя неизменными остальные состояния кубита.

\hat{B}_{ij}=\left (
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&-1
\end{array}
\right )

Тип двухкубитного квантового вентиля SWAP выполняет обмен состояниями между составляющими кубитами, и его можно представить:


Таким образом, базовые квантовые вентили:

  • реализуют операторы не над булевыми переменными, а над их суперпозицией;
  • осуществляют либо фазовые сдвиги, либо обмен состояниями с использованием условной инверсии ( XOR );
  • выполняют преобразования над потоками данных и по специализированным для каждого оператора схемам соединения составляющих вентилей.

Существующие экспериментальные КК реализуют уже ряд квантовых алгоритмов и обладают всеми признаками традиционных компьютеров: загружают информацию, обрабатывают ее и выдают результаты. Но они еще обладают малой оперативной памятью (единицы и десятки кубит) и низким быстродействием. Так, операция выборки из четырех элементов осуществляется на двух кубитах за десятки миллисекунд, что пока не позволяет им конкурировать с классическими компьютерами.

Один из первых экспериментальных КК ориентирован на реализацию алгоритма Дойча - Джозса [94, 199], который используется при решении следующей задачи.

Виктор Бузмаков
Виктор Бузмаков
Россия, г. Москва
Юрий Самков
Юрий Самков
Россия