Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 310 / 11 | Длительность: 34:17:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 6:

Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

< Лекция 5 || Лекция 6: 123456 || Лекция 7 >

5.3. Структурно-функциональная избыточность многофункциональных логических модулей и формальных нейронов

Как уже отмечалось выше, МДМ является универсальным, если реализуемое им множество функций \{\Psi_{\alpha}\} включает в себя в качестве подмножества некоторый полный класс функций типа (5.2), то есть \{F_{\alpha}}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}.

В технике обычно стремятся к тому, чтобы МДМ был не избыточен по отношению к заданному классу функций:

\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ и }
\{F_{\alpha}\}\supset\{\Psi_{\alpha}\}\text{ или }
\{F_{\alpha}\} : \{F_{\alpha}\}\sim\{\Psi_{\alpha}\}. ( 5.15)

В реальных нейронах и нейронных ансамблях функциональная избыточность значительна, то есть

\{F_{\alpha}\}\subset\{\Psi_{\alpha}\}\text{, причем }
|\{F_{\alpha}\}|<<|\{\Psi_{\alpha}\}|. ( 5.16)

В формальных нейронах и, в частности, в МПЭ присутствует еще и структурная избыточность, которая обеспечивает настройку на одну и ту же ЛФ или ДФ с помощью множества варьируемых параметров модели. В частности, МПЭ можно настроить на одну и ту же F_{\alpha} с помощью целой совокупности значений компонент весового вектора \{w_i\}_{\alpha} и вектора порогов \{h_j\}_{\alpha}.

Если принять во внимание еще и физические процессы, которые лежат в основе работы УДМ или МДМ, то многообразие способов реализации одних и тех же функций становится необозримым. Но канонический характер преобразований (5.13) и (5.14) позволяет абстрагироваться от такого многообразия способов реализации, что следует из теоремы Кэли [103], которая гласит: любую конечную группу преобразований можно представить группой подстановок. Отсюда следует, что каким бы способом ни был реализован МДМ или УДМ, его работу или настройку всегда можно описать в виде (5.13) или (5.14).

Чтобы удовлетворить (5.15), необходимо иметь в виду, что перечислительный (адаптивный) процесс настройки МДМ или УДМ на требуемую функцию задан на упорядоченных определенным образом подклассах функции (5.2). В частности, можно убедиться [119], что с ростом хотя бы одного из перестраиваемых параметров ( n, <q_{i}>, у, k ) преобразований (5.13) каждый последующий класс \{F''\} включает в себя все предыдущие, если n' < n'', q' < q'', k' < k'' или если любая из переменных x_{i} имеет значность q'_{i} < q_{i}'', то \{F_{\alpha}'\}\subset\{F_{\alpha}''\}.

Если под элементами множества \{F\} понимать полные классы \{F_{\alpha}\}, то с ростом хотя бы одного из параметров ( n, <q_{i}>, \gamma, k ) эти классы образуют алгебраическую структуру [103, 120] с отношением включения классов с меньшими значениями перестраиваемых параметров в классы с большими значениями соответствующих параметров.

Для таких структур в теории групп [103] доказываются следующие утверждения:

  1. Всякая структура изоморфно вкладывается в структуру отношений эквивалентности, определенных в некотором множестве (теорема Уитмена).
  2. Структура отношений эквивалентности, определенная в произвольно заданном множестве, изоморфно вкладывается в структуру подгрупп некоторой группы (теорема Биркхофа).

Поскольку задаваемое функцией (5.2) отношение "эквизначности" является отношением эквивалентности, процесс адаптации МДМ или УДМ требует как минимум перехода от одного отношения эквивалентности к другому.

Отсюда, в соответствии с теоремой Уитмена разнообразие способов получения структуры, описывающей специфику работы конкретных УДМ, представимо структурой отношений эквивалентности, а в соответствии с теоремой Биркхофа - соотношение (5.13) описывает не только работу, но и настройку любого УДМ на F_{\alpha}\in\{F_{\alpha}\}.

Класс двузначных ЛФ лежит в основе современной микроэлектроники, и он вырожден по отношению к классу многозначных (дискретных) функций (5.2), так как при его перечислении варьируют только количеством переменных ( n ) и спецификациями \{r_{0}, r_{1}\}. С этим классом функций связана дистрибутивная структура, для которой справедлива теорема Стоуна [103]: для всякой дистрибутивной структуры существует мономорфизм, отображающий эту структуру во множество всех ее подмножеств и переводящий дополнение в дополнение. (Под мономорфизмом понимается однозначное отображение, при котором образы различных элементов различны.)

Теорема Стоуна показывает, что для построения двузначных УДМ необходимо получить (с помощью G и \Lambda ) множество всевозможных подмножеств входных векторов \{X^{s}_n\}, а с помощью преобразования K разместить значения ЛФ ("ноль" и "единица") соответственно над подмножеством \{X^{s}_n\}_0 и его дополнением \{X^{s}_n\}_1:\{X^{s}_n\}\setminus\{X^{s}_n\}_0.

В сравнении с теоремой Шеннона [101] теорема Стоуна предоставляет более широкий выбор способов построения УДМ, так как она сформулирована в терминах теории множеств и не предполагает какой-либо фиксированной формы логической записи и реализации F_{\alpha}, что наглядно иллюстрирует МПЭ [79, 80], где входные преобразования носят чисто арифметический, а не логический характер.

В технических системах функциональная избыточность УДМ "дозируется" соображениями экономичности, отказоустойчивости и надежности, когда требование минимума аппаратурных затрат на реализацию и управление УДМ необходимо совместить с требованием повышенной устойчивости к (частичным) отказам объекта и средств адаптации УДМ.

На абстрактном уровне структурно-функциональную избыточность УДМ можно оценить отношением мощности множества всевозможных состояний вектора управления U_s к мощности класса реализуемых функций:

J (УДМ) = |\{U\}|/M_k \ge 1, ( 5.17)

где | \{U_s\} | = | \{ E_{s} \} | * | \{ E_{d} \} |*|\{ E_{k} \}| - оценивается при независимом управлении параметрами настройки входного преобразования G - |\{E_{s}\}|, внутреннего преобразования \Lambda - | \{ E_{k} \}|, и выходного преобразования К - |\{Еk\}| = , а M_{k} = |\{F_{\alpha}\}|.

Ограничение снизу в (5.17) показывает, что на любую функцию F_{\alpha}\in \{F_{\alpha}\} можно настроиться хотя бы одним способом, то есть при неизбыточном управлении мощность множества состояний вектора управления U_s равна мощности множества реализуемых функций.

Ограничение "сверху" в (5.17) можно получить, считая: |\{E _{s}\}| \le (Q+1)!; |\{E_{k}\}| \le k!; |\{E_{d} \}| \le |\{\lambda\}| - мощность множества всевозможных \lambda -разбиений числа ( Q+1 ).

Тогда:

J(УДМ) \le (Q+1)!*k!*|\{\lambda\}|/k^{Q+1}. ( 5.18)

В табл. 5.3 приведены численные оценки (5.18), показывающие характер изменения структурно-функциональной избыточности УДМ в зависимости от параметров его настройки на F_{\alpha} из заданного класса \{F_{\alpha}\}. Из табл. 5.3 видно, что с ростом Q (при фиксированных k - рис. 5.5) структурно-функциональная избыточность УДМ резко возрастает, а с ростом k (при фиксированных Q - рис. 5.6) - падает.

Таблица 5.3. Оценка избыточности реализации ЛФ в УДМ
k = 2
Q+1=4 Q+1=6 Q+1=8 Q+1=9
J 9 90 1575 7087
|\{\lambda\}| 3 4 5 5
|\{u_s\}| 144 5760 403200 3628800
M_k 16 64 256 522
k = 3
Q+1=4 Q+1=6 Q+1=8 Q+1=9
J 7 41 368 1322
|\{\lambda\}| 4 7 10 12
|\{u_s\}| 576 30240 2419200 26127360
M_k 81 249 6561 19683
k = 4
Q+1=4 Q+1=6 Q+1=8 Q+1=9
J 11 38 221 533
|\{\lambda\}| 5 9 15 17
|\{u_s\}| 2880 155520 14515200 140797660
M_k 256 4096 65536 262144

Отсюда следует практическая рекомендация по нахождению минимально избыточных в смысле (5.17) и (5.18) УДМ: необходимо максимально упрощать входное преобразование и максимально использовать возможности выходного преобразования канонической тройки (5.13), особенно при реализации ЛФ, где k \ll Q.

Таким условиям удовлетворяет УДМ, в котором G и \Lambda фиксированы, а все адаптивные возможности сосредоточены в выходном контуре:

G*\Lambda* A_{Q+1}^{\gamma}, ( 5.19)

где оператор \Lambda разбивает все множество \{X^{s}_{n}\} на ( Q+1 ) одноэлементных подмножеств, а выходное преобразование A^{\gamma}_{Q+1} размещает с повторениями \gamma значений F_{\аlpha} над ( Q+1 ) одноэлементными подмножествами.

Диаграмма изменения избыточности УДМ как функция Q+1

Рис. 5.5. Диаграмма изменения избыточности УДМ как функция Q+1
Диаграмма изменения избыточности как функция k

Рис. 5.6. Диаграмма изменения избыточности как функция k

Требованиям (5.19) отвечает УДМ, который включает (рис. 5.7):

  • неперестраиваемый дешифратор (DC), реализующий оператор G (|G| = 1),
  • селектор-мультиплексор (MS), реализующий фиксированное \lambda -разбиение ( |\Lambda|=1 ),
  • ( Q+1 )-разрядный регистр (RG), выполняющий подстановку \gamma значений F_{\alpha} над ( Q+1 ) элементом (f_{s}\to b_j).

Настройка УДМ рис. 5.7 на F_{\аlpha} выполняется загрузкой в регистр RG управляющего вектора U_{Q}, представляющего собой k -значный код числа \аlpha.

Структурно-логическая схема базового УДМ

Рис. 5.7. Структурно-логическая схема базового УДМ

Взаимно однозначное отображение \alpha\leftrightarrow U_{Q} зависит от правил объединения на входах селектора MS s -выходов дешифратора DC и u_{s} -выходов регистра настройки RG. Например, тривиальная \alpha -нумерация двумерных двузначных ЛФ задается таблицей 5.4, и она всегда будет подразумеваться в дальнейшем, если не оговорено иное.

Таблица 5.4. Тривиальная alpha-нумерация двумерных двузначных ЛФ
x_1 x_2 s F_{ 0} F_{ 1} F_{ 2} F_{ 3} F_{ 4} F_{ 5} F_{ 6} F_{ 7} F_{ 8} F_{ 9} F_{10} F_{11} F_{12} F_{13} F_{14} F_{15}
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
U_Q u_0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
u_1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
u_2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
u_3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

В оптоэлектронике оператор линейной свертки можно реализовать не на схемотехническом, а на физико-техническом уровне работы ней-роподобной элементной базы, что резко снижает аппаратные затраты на МПЭ по сравнению с дискретными схемами. В оптоэлектронном МПЭ рис. 5.8 [122] использована схема (5.19), где:

Структурная схема оптоэлектронного УДМ

Рис. 5.8. Структурная схема оптоэлектронного УДМ
  • дешифратор DC выполнен в виде волоконно-оптической системы 1, которая отклоняет луч 2 инжекционного лазера по закону
    \varphi_s=\sum_i{\Delta\varphi_i x_i},

    где x_{i} -двоичные переменные, связанные с наличием ("логическая единица") или отсутствием ("логический ноль") электрического тока в металлизированных волокнах - входах оптоэлектронного УДМ; \Delta\varphi_i - "локальный" угол отклонения луча от горизонтальной оси, причем если \Delta\varphi_i = const (по i ), то УДМ является мажоритарным, а если \Delta\varphi_i = vary (по i ), то УДМ является многопороговым;

  • селектор MS реализован в виде оптоэлектронного транспаранта 3;
  • "плоский" регистр RG реализован в виде памяти связей, которая формирует выходное значение (f_{s}) оптоэлектронного УДМ в соответствии со значением управляющего потенциала u_{s} того элемента транспаранта, на который падает в данный момент луч лазера.

В теории многофункциональных логических модулей [101] все рассмотренные УДМ считаются выполненными по схеме с раздельными информационными ( x_{i} ) и управляющими ( u_s ) входами. На практике применяются и схемы со смешанными информационными и управляющими входами, адаптация которых выполняется с помощью преобразований:

  • \Gamma_1 - перестановка переменных x_{i} по входам y_{j} МДМ ( i =\overline{1,n} ; j =\overline{1,m} ; m \ge n );
  • \Gamma_{2} - инверсия переменных x_{i} ;
  • \Gamma_{3} - фиксация значений отдельных входов ( y_{j} = 0 или y_{j} = 1 );
  • \Gamma_{4} - отождествление отдельных входов, то есть подача одной и той же переменной x_{i} на произвольное подмножество входов \{y_{j}\}.

Вне зависимости от значности входных переменных их перестановки по ( j ) и инверсии образуют группу переименований переменных [86, 123] порядка | \Gamma_{1}*\Gamma_{2}| = 2^{m}*m!, которая является подгруппой G', имеющей порядок (Q'+1)!, где Q' определена на множестве \{Y^{s}_m\}.

Фиксация и отождествление переменных не выводят за класс функций \{F_{\alpha}(Y_{m})\}, к которому принадлежит реализуемая МДМ первообразная [101] функция F_{\alpha}*(Y_m), такая, что F_{\alpha}^{*}[\Gamma(Y_m)] = \{F_{\alpha}(X^{s}_n)\}, где \Gamma = \Gamma_{1}*\Gamma_2 *\Gamma_3 *\Gamma_{4}. Поэтому, выбрав в (5.2) параметры класса функций \{F_{\alpha}(Y_{m} )\}, можно с помощью канонической системы преобразований описать работу и адаптацию МДМ со смешанными информационными и управляющими входами.

Таким образом, на основе преобразований, сохраняющих отношение эквизначности, удалось:

  1. Построить каноническую систему преобразований универсальных дискретных модулей, которая пригодна как для описания собственно вычислительного процесса, так и для перечисления всех арифметико-логических инструкций, используемых в программе.
  2. Оценить структурно-функциональную избыточность канонической системы преобразований УДМ и построить его минимально избыточную схему.
  3. Показать инвариантность канонической системы преобразований способам адаптации наиболее распространенных в технике УДМ с раздельными и смешанными информационными и управляющими входами.
  4. Расширить сферу поиска физических процессов под перспективные вычислительные элементы и схемы, так как каноническая система преобразований оперирует не понятиями булевой алгебры, а понятиями теории групп, длительное время обслуживающей нужды физиков и химиков.
< Лекция 5 || Лекция 6: 123456 || Лекция 7 >
Виктор Бузмаков
Виктор Бузмаков
Россия, г. Москва
Юрий Самков
Юрий Самков
Россия