Опубликован: 03.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 310 / 11 | Длительность: 34:17:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 4:

Теория вычислений и машины Тьюринга

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >

3.2. Машины Тьюринга и вычислимые функции

Приведенных в предыдущем разделе данных достаточно для перехода к общему описанию МТ.

Работу МТ с рабочим алфавитом A =A_{t} и состояниями (q _{0}, q _{1}, …, q_{s}) можно представить таблицей машины Т, которая представляет собой матрицу с 4 столбцами и (s+1)(t+1) строками. Строка матрицы с номером (j(t+1)+m+1), (0 \le j \le s, 0\le m \le t) имеет вид: q_{j} a_m v_{jm}  q_{jm}, где действие v_ {jm}\inA\cup\{ a _{0}, r , l , s \}, а q_{jm} \in ( q _{0}, q _{1}, …, q) - следующее состояние. Индексы элементов строки матрицы Т в ряде случаев можно опускать, и тогда описание строки принимает вид qavq', где действие v может представлять собой подстановку символа (qaa' q' вида v = a \to a', при этом v_{jm} \in A\cup{a _{0}}), сдвиг вправо на одну ячейку (qarq' \text{ вида } v = r), сдвиг влево на одну ячейку, если рабочая ячейка не совпадает с нулевой (qalq' \text{ вида } v = l ). Если рабочая ячейка совпадает с нулевой и v = l, то требуемое действие невыполнимо и Т останавливается v = s, что вызвано ее выходом за пределы ленты. Машинный останов Т (v = s) может быть и запланированным. Считается также, что пара qa однозначно идентифицирует единственную строку матрицы Т . В нашем примере матрица МТ имеет вид:

q _{0} * r q_{1} \\
q_{0} | r q_1 \\
q _{1} * |  q _{2 } \\ 
q _{1} |  |  q _{2 } \\
q_{2} * s q_{2 } \\
q _{2} | s q_2

Строки таблицы Т с одинаковыми q соответствуют некоторому указанию в смысле требования 1, и наоборот, состояниям Т отвечают номера указаний в соответствующем алгоритмическом предписании.

Таблицу 3.1,задающую правила подстановки символов при арифметическом сложении, также можно представить в виде таблицы машины Тьюринга (табл. 3.2), если пару (x _{1}, x _{2}) считать одним символом, а q_1: = e^{+}= 0, и q_{2}:= e^{+}= 1.

В принятых соглашениях запись на ленте или просто запись является функцией Y на N со значениями в A\cup\{a _{0}\}, которая каждому i ставит в соответствие букву, являющуюся содержимым i -й ячейки ленты. При этом неравенство Y(i) \ne * выполняется только для конечного числа индексов i.

Согласно требованию 1 общий итог выполненных вычислений однозначно определяется конфигурацией МТ , которая задается тройкой (\psi , Y, q), где \psi - номер текущей рабочей ячейки, Y - текущая запись и q - текущее состояние Т. Конфигурации обычно обозначают C, …, а начальной конфигурации отвечает та, у которой третья компонента есть q _{0}.

Таблица 3.2. Таблица преобразования символов при сложении по "Тьюрингу"
q_j (x_1, х_{2}) \Sigma q_{jm} q_j (x_1, х_{2}) \Sigma q_{jm} q_j (x_1, х_{2}) \Sigma q_{jm}
q_1 0,0 0 q_1 . . . . q_1 3,3 6 q_1
q_1 0,1 1 q_1 q_2 1,9 1 q_2 q_1 3,4 7 q_1
q_1 2,2 4 q_1
q_1 0,9 9 q_1 q_1 2,3 5 q_1 q_1 3,9 2 q_2
q_2 0,0 1 q_1
q_2 0,1 2 q_1 q_1 2,5 7 q_1 q_2 3,3 7 q_1
q_2 3,4 8 q_1
q_2 0,9 0 q_2 q_1 2,9 1 q_2 q_2 q_2
q_1 1,1 2 q_1 q_1 2,2 5 q_1 q_1 3,9 3 q_1
q_1 1,2 3 q_1 q_1 2,3 6 q_1 q_1 q_1
2,4 7
q_1 1,9 0 q_1 q_1 2,5 8 q_1 q_1 7,7 4 q_1
q_2 1,1 3 q_2 q_2 q_2 q_2 7,8 5 q_2
q_2 1,2 4 q_2 q_2 2,9 2 q_2 q_2 q_2

Пусть C = ( \psi , Y, q) - некоторая конфигурация Т. Если qY(\psi)vq' есть некоторая строка таблицы Т, начинающаяся символами qY(\psi), и если v \ne s и одновременно не выполняются равенства v = l и \psi = 0, то выполнение действия v приводит к новой рабочей ячейке с номером \psi (при этом не исключается \psi = \psi' ) и к новой записи Y (при этом не исключается Y = Y' ) и Т переходит в состояние q ' . В этом случае однозначно определенную конфигурацию C' = ( \psi' , Y', q') называют следующей за C. В противном случае ( v = s или одновременно v = l и \psi = 0 ) говорят, что C является конечной конфигурацией для Т .

Говорят, что Т применима к записи Y в рабочей ячейке \psi, если в качестве начальной конфигурации выбрана конфигурация C _{0} = ( \psi , Y0, q_{0}).

Конфигурация C _{0} однозначным образом порождает конечную или бес-конечную последовательность конфигураций C _{0}, C _{1}, …, в которой C_{i+1} есть конфигурация, следующая за C_{i}, и для которой C_{i} есть последний член в том и только в том случае, когда C_{i} является конечной конфигурацией. Так как МТ работает в пошаговом режиме, между номером шага и номером конфигурации существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому машина Т останавливается через конечное число шагов после применения к записи Y в рабочей ячейке \psi, если последовательность конфигураций, порожденная C _{0} = (\psi , Y_0, q _{0}), имеет последний член. Если для анализа вычислений после-довательность состояний МТ не представляет интереса, то сам вычислительный процесс можно описать двойками S = (\psi , Y), которые каждой конфигурации C = ( \psi, Y, q) сопоставляют ее позицию, то есть последовательности конфигураций всегда соответствует последовательность позиций, к которым применимы термины "начальная" и "конечная".

Пусть C = ( \psi, Y, q) есть некоторая конфигурация и Y(i) = a_i для всех i \ge 0. Тогда для наглядного изображения C и отвечающей ей позиции можно использовать:

а_{0}..a_{\psi}^0 ... и \begin{array}{rrr}
a_0&...& а_{\psi} \\
&&\uparrow
\end{array}

Безразличные для анализа участки записи будем обозначать символом \sim, а если речь идет о содержимом одной ячейки, то символом \clubsuit. Это позволяет для записи позиций использовать следующие упрощения.

  1. Выделить только интересующие позиции типа: *\sim | \substack{\clubsuit\\\uparrow}*.
  2. Обозначить специальным символом \bot значимый левый (правый) край ленты типа: \bot ** \substack{|\\\uparrow}*\bot
  3. Исключить повторяющийся символ правее определенного: \bot*|\substack{*\\\uparow}\ldots.

Пусть S и S' возможные позиции для Т. Тогда запись вида S\stackrel{T}{\Rightarrow}S означает: Т начала свою работу в начальной позиции S и (после конечного числа шагов) остановилась в конечной позиции S'. Например: \bot*w\substack{*\\\uparrow}\ldots\stackrel{T}{\Rightarrow}\bot\sim|\substack{*\\\uparrow}.

Применить Т к записи после слова w или после k -членной последовательности слов (w_1, w_{2}, …, w_k ) над А означает взять в качестве начальной позицию: \bot\substack{*\\\uparrow}w*\ldots, и соответственно \bot\substack{*\\\uparrow}w_1*\ldots* w_k*.

Применить Т к записи перед словом w или перед k -членной последовательностью слов (w_1, w_{2}, …, w_k) над А означает взять в качестве начальной позицию: \bot^*_{\uparrow} w^*\ldots, и соответственно \bot^*_{\uparrow} {w_1}^*\ldots^*{w_k}^*. Применить Т к пустой ленте означает взять в качестве начальной позицию \bot^*_{\uparrow}.

Говорят, что Т остановилась после (перед) словом w, если Т применялась к начальной записи Y в начальной ячейке S = (\Psi , Y) и S \stackrel{T}{\Rightarrow}\bot\sim^*w^*_{\uparrow}, (S \stackrel{T}{\Rightarrow}\bot\sim^*_{\uparrow}w^*). При этом в конечной позиции после символа ^* нельзя сказать ничего определенного.

Если Т в результате применения к записи Y в рабочей ячейке \Psi остановилась после слова w над А, то последняя рабочая ячейка не может быть нулевой, даже если w = \#, так как фактически произошел машинный останов Т.

Для строгого определения вычислимых по Тьюрингу функций используется экстенсиональная точка зрения, которая исходит из следующего:

  1. Две функции равны, если совпадают их области определения и если их значения во всех общих точках определения равны.
  2. Два алгоритма \ddot{U} и \ddot{U}' экстенсионально равны (равны по конечному эффекту), если равны вычисляемые ими функции f_{\ddot{U}} = f_{\ddot{U}'}.

Функцию f называют функцией из \Omega^{k}(E) в \Omega (B), если область определения f (\Def{f}) содержится в \Omega^{k}(E), а множество образов при ото-бражении f (\Bild{f} ), содержится в \Omega(B). В предельном случае \Def {f} = \Omega^{k}(E), и тогда f называют функцией на \Omega^{k}(E) со значениями в Q(B). В общем случае \Def{ f}\subset \Omega^{k}(E), и тогда f называют частичной функцией на \Omega^{k}(E) со значениями в \Omega(B).

Алгоритм \ddot{U}< \breve{D} , E, A, D, k> определяет функцию f_{\ddot{U}} из \Omega^{k}(E) в \Omega(B), если выполнены следующие условия:

  1. Функция f_{\ddot{U}} определена для w\in\Omega^k(E) в том и только в том случае, когда применение \ddot{U} к w приводит к некоторому результату, который и является значением f_{\ddot{U}} от w.
  2. Функция f_{\ddot{U}} обладает тем свойством, что для всех w\in\Def{ f_{\ddot{U}}} значение f_{\ddot{U}}(w) можно вычислить, исполнив предписание \breve{D} .

Отсюда, функция f из \Omega^{k}(E) в \Omega (B) называется вычислимой тогда и только тогда, когда существует алгоритм \ddot{U}<\breve{D} , E, A, D, k>, для которого f = f_{\ddot{U}}. В этом случае \ddot{U} называют вычислительной процедурой для f.

В терминах МТ те же определения имеют следующий вид. Пусть Т есть МТ с рабочим алфавитом А, таким, что E, B \subset А. Тогда Т определяет некоторую k -местную функцию (k \ge 0) из \Omega^{k}(E) в \Omega (B) по следующему правилу: w\in\Omega^{k}(E) принадлежит области \Def{f} тогда и только тогда, когда Т, примененная к записи w, останавливается после слова из \Omega (B), а это слово является значением f от w.

Таким образом, для (w_1,w_2... w_k)\in\Omega^{k}(E) имеем:

\bot * w_{1}*, w_{2}, \ldots,    w_{k}\substack{*\\\uparrow}\ldots\stackrel{T}{\Rightarrow} \bot\sim *f(w_1\ldots w_k) \substack{*\\\uparrow},

когда (w_1…w_k )\in\Def{ f}, и наоборот, если (w_1, w_{2}, …, w_k )\notin\Def{ f}, то Т , примененная к записи (w_1, w_{2}, …, w_k), не останавливается после слова из \Omega (B).

Приведенных данных достаточно для определения 3.1: функция f из \Omega^{k}(E) в \Omega (B) называется вычислимой по Тьюрингу ( ФВТ ), если существует МТ с рабочим алфавитом А, содержащим E и B, такая, что k -местная функция из \Omega^{k}(E) в \Omega (B), определяемая машиной Т , совпадает с f .

О любой такой МТ говорят, что она вычисляет f .

Из приведенного определения следует, если f есть ФВТ из \Omega^{k}(E) в \Omega (B) и Т есть МТ, вычисляющая f, то, применив Т к w\in\Omega^{k}(E), можно получить следующие результаты: либо Т не остановится вовсе, либо Т уйдет за пределы ленты, либо произойдет машинный останов Т . Если в последнем случае Т остановилась после слова w'\in\Omega(B), то w'\in\Def{f} и f(w) = w'. Во всех остальных случаях w\notin\Def{f}.

Введенное описание применения Т к аргументу ФВТ, вычисляемой Т , и нахождение значения функции способом, указанным в определении 3.1, вместе образуют общее предписание для всех алгоритмов. Это позволяет говорить, что функция, вычислимая по Тьюрингу ( ФВТ ), является адекватной формализацией интуитивного понятия "вычислимая функция".

< Лекция 3 || Лекция 4: 12345 || Лекция 5 >
Виктор Бузмаков
Виктор Бузмаков
Россия, г. Москва
Юрий Самков
Юрий Самков
Россия