Московский государственный университет путей сообщения
Опубликован: 06.09.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 954 / 56 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 35:22:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 21:

Выполнимость булевых функций и бинарные диаграммы в построении тестов

< Лекция 20 || Лекция 21: 1234 || Лекция 22 >
Аннотация: В лекции рассмотрено применение методов решения задачи выполнимости булевых функций к построению тестов комбинационных схем. Изложено приведение задачи построения теста для данной неисправности к конъюктивной нормальной форме и метод решения задачи выполнимости. Описаны методы построения тестов на основе бинарных диаграмм. Рассмотрены методы сжатия построенных тестов.

21.1 Выполнимость булевых функций

Рассмотренные ранее методы построения проверяющих тестов для заданной неисправности комбинационной схемы можно разбить на два класса:

  1. структурные методы, осуществляющие поиск решения непосредственно по логической схеме на основе активизации путей;
  2. аналитические методы, где построение теста выполняется путем манипуляций с формулами (метод различающей функции и булевых производных).

Относительно недавно разработан метод построения тестов на основе решения задачи выполнимости булевых функций [21.1], который занимает промежуточное положение между этими двумя подходами. Здесь строится различающая функция между булевыми функциями, реализующими исправную и неисправную схемы, которая далее преобразуется в конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и решается задачи выполнимости КНФ.

Рассмотрим задачу построения КНФ по заданной логической схеме [21.1,21.2]. Для начала возьмем уравнение Z=X . В логических терминах это уравнение эквивалентно следующему: (Z\to X)\cdot(X\to Z). Но в выражение (Z\to X) эквивалентно (\overline{Z}\vee X), поэтому (Z\to X)\cdot(X\to Z) можно представить в виде (\overline{Z}\vee X) (Z\vee \overline{X}). Заметим, чтобы это выражение приняло значение "истина", необходимо чтобы оба значения Z и X были истинны, либо наоборот оба значения были ложными.

Далее рассмотрим уравнение (Z=X\cdot Y) для вентиля И, которое можно преобразовать к виду (Z\to X\cdot Y)\cdot(X\cdot Y\to Z) [21.1,21.2]. Действуя по приведенной выше схеме, на следующем шаге получаем


(\overline{Z}\vee X\cdot Y)\cdot(\overline{X}\overline{Y}\vee Z)=
(\overline{Z}\vee X)\cdot(\overline{Z}\vee Y)\cdot(\overline{X}\vee \overline{Y}\vee Z)

В полученной КНФ отдельные дизъюнкты (сомножители) могут иметь один, два или три терма ("слагаемых"). Известно[21.1,21.2], что подобные преобразования можно выполнить для типовых логических вентилей - окончательные результаты представлены в табл. 21.1

Таблица 21.1.
Формула Тип вентиля
буфер
инвертор
Двухвходовой И
Двухвходовой НЕ-И
Двухвходовой ИЛИ
Двухвходовой НЕ-ИЛИ
Двухвходовой ИЛИ

Далее перейдем от преобразования отдельных логических элементов к схеме в целом на примере схемы рис. 21.1[21.2]. Здесь исходная (исправная) схема выделена пунктиром.

Пример схемы для  проверки выполнимости булевых функций.

Рис. 21.1. Пример схемы для проверки выполнимости булевых функций.

Поведение этой (исправной) схемы может быть описано с помощью следующей КНФ


(\overline{n}_1\vee A)\cdot(\overline{n}_1\vee B)\cdot(\overline{A}\vee\overline{B}\vee n_1)\cdot(\overline{n}_2\vee C)\cdot(\overline{n}_2\vee D)\cdot(\overline{C}\vee\overline{D}\vee n_2)\cdot\\
(Z\vee\overline{n}_1)\cdot(Z\vee\overline{n}_2)\cdot(n_1\vee n_2\vee\overline{Z})

которая построена с помощью приведенных выше преобразований. Отметим, что здесь наряду с входными переменными (A, B, C, D) содержатся и "внутренние" переменные (n_{1}, n_{2}, Z), которые ассоциированы с внутренними линиями схемы.

Далее перейдем, к задаче построения проверяющего теста на примере константной неисправности C\equiv 1. Согласно методу различающей функции мы должны решить булево уравнение Z\oplus Z^{*}=1, где Z^{*} описывает поведение неисправной схемы. На рис. 21.1 представлена схема, которая реализует эту различающую функцию. Заметим, что здесь исправная и неисправная схемы содержат общую подсхему. Далее по изложенной выше методике с использованием преобразований табл. 21.1 построим КНФ для схемы рис. 21.1


(\overline{n}_1\vee A)\cdot
(\overline{n}_1\vee B)\cdot
(\overline{A}\vee\overline{B}\vee n_1)\cdot
(\overline{n}_2\vee C)\cdot
(\overline{n}_2\vee D)\cdot
(\overline{C}\vee\overline{D}\vee n_2)\cdot\\
(Z\vee\overline{n}_1)\cdot
(Z\vee n_2)\cdot
(n_1\cdot n_2\cdot \overline{Z})\cdot\\
(\overline{n'}_2\vee C')\cdot
(\overline{n'}_2\vee D)\cdot
(\overline{C'}\vee\overline{D}\vee n'_2)\cdot
(C')\cdot
(Z^{*}\vee\overline{n'}_1)\cdot
(Z^{*}\vee\overline{n'}_2)\cdot
(n_1\vee n'_2\vee\overline{Z}^{*})\cdot\\
(\overline{Z}\vee Z^{*}\vee BD)\cdot
(Z\vee\overline{Z}^{*}\vee BD)\cdot
(\overline{Z}\vee\overline{Z}^{*}\vee \overline{BD})\cdot
(Z\vee {Z}^{*}\vee \overline{BD})

В полученной формуле первые две строки соответствуют исправной схеме, которая на рис. 21.1 выделена пунктиром. Третья строка соответствует неисправной схеме. Отметим, что здесь включено дополнительное требование на активизацию неисправности в виде терма C', который принимает значение "истина" при C'=1. Наконец, четвертая строка представляет элемент исключающее ИЛИ (сумма по mod2). Конечно, для маленькой схемы рис. 21.1 это выражение достаточно громоздко, но методы решения выполнимости булевых функций и высокая производительность компьютерных систем позволяют решать задачу генерации тестов для реальных больших схем. Решением, то есть проверяющим тестовым набором является множество значений входных переменных, обращающих КНФ в 1.

Эффективность решения выполнимости булевых функций зависит от числа термов в дизъюнктах. Известно, что в общем случае (произвольного числа термов в дизъюнктах) эта задача является NP-полной (относительно числа переменных) то есть имеет экспоненциальную сложность. Решение полиномиальной сложности имеет случай 1- и 2-выполнимости, когда число термов в любом дизъюнкте не превышает 1 или 2. Для 2-выполнимости известен эффективный алгоритм на основе метода резолюций [21.3]. Для 3-выполнимости задача уже является NP-полной. Задача с произвольным числом термов может быть сведена к 3-выполнимости[21.3]. Заметим, что для нашого примера схема содержит логические элементы, имеющие два входа. Потому, согласно табл..21.1, построенная КНФ в этом случае имеет 66,6% дизъюнктов с двумя термами. На практике 80% или даже 90% дизъюнктов имеют два терма. Поэтому часто при построении тестов используется следующий подход к решению задачи выполнимости:

  • находятся значения переменных, входящие в дизъюнкты с двумя термами;
  • дизъюнкты с тремя термами используются в качестве ограничений.

Подобный подход используется в [21.1,21.2] на основе линейного алгоритма для 2- выполнимости [21.4] следующим образом. Определяется массив V для 2-КНФ переменных, входящих в дизъюнкты с 2 термами. Массив определяет порядок обработки этих переменных. Используется указатель i, который указывает на первую неограниченную переменную и инициализируется в 0. Переменная dir используется для хранения текущего направления обработки (прямой или обратный порядок). В течение обработки i>0 и последовательность ограниченных значений V[0], V[1],…, V[i-1] представляет текущий префикс V. Все элементы массива V, которые больше или равны 0 и меньше i являются ограниченными. Целью является множество двоичных значений переменных V, которые совместимы с дизъюнктами, содержащими 3 терма. При этом в случае несовместимости это желательно обнаружить как можно раньше. Укрупненный псевдокод алгоритма решения выполнимости КНФ представлен ниже на рис. 21.2.

SAT()
{
  dir=0; // устанавливается прямой порядок
   V=NULL; //  все переменные неограниченны
    i=0; // значение указателя на первую неограниченную переменную
  for(;;)  {
       if(dir=прямой порядок) {
           for(;i<размер V;i=i+1)
                 if(V[i] ограничена)
                     break; 
            if(i==размер V)
                return(успех);
            V[i-1]=0;
        Выполнение импликации V[i-1];
         i =i+1;
}       
else { // dir=обратный порядок   
      if(i==0)
         return(неудача);
         temp=V[i]; // сохранение последнего значения
         отменить импликацию V[i-1];
}         
         else
              i=i-1;
}     
     if(нет  нулевого дизъюнкта)
           dir= прямой порядок;
     else
            dir= обратный порядок;
}       
}   

Поиск решения прекращается если:

  1. Найдены значения, при которых булева функция выполнима;
  2. Доказано, что таких значений не существует;
  3. Превышены ограничения по выделенным вычислительным ресурсам.

Представленный алгоритм является полным - то есть он гарантирует построение тестового набора для не избыточной неисправности в комбинационной схеме или показывает ее избыточность. Однако для ускорения поиска можно ввести в КНФ некоторые дополнительные дизъюнкты, которые позволяют сузить пространство поиска решений. Подобно структурным методам эти дизъюнкты могут отражать топологию схемы и некоторые эвристики [21.1].

< Лекция 20 || Лекция 21: 1234 || Лекция 22 >
Дмитрий Медведевских
Дмитрий Медведевских

Добрый день  можно поинтересоваться где брать литературу предложенную в курсе ?Большинство книг я не могу найти  в известных источниках

Анастасия Заборская
Анастасия Заборская
Россия, г. Барнаул