Московский государственный университет путей сообщения
Опубликован: 06.09.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 954 / 56 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 35:22:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 17:

Синтез тестов для заданной неисправности

< Лекция 16 || Лекция 17: 12 || Лекция 18 >
Аннотация: В лекции рассматривается задача построения п проверяющего теста для конкретной заданной неисправности. Изложены аналитические методы построения тестов для комбинационных схем, которые основаны на символьных вычислениях. К ним относятся метод различающей функции и булевых производных. Описан структурный метод активизации одномерных путей.

17. 1 Метод различающей функции

Задача построения проверяющего теста для данной неисправности в комбинационной схеме может быть решена аналитически, если функционирование схемы в исправном и неисправном состояниях задано с помощью аналитических выражений функций выходов.

Пусть f(X) - булева функция, реализуемая исправной комбинационной схемой, а \varphi (X) - булева функция, реализуемая неисправной схемой.

Назовем различающей функцией следующее выражение [17.1]:

D(\varphi )=f(X)\oplus \varphi (X).

Очевидно, что наборы значений входных переменных X, на которых D(\varphi )=1, являются проверяющими тестами для данной неисправности \varphi .

Для примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 17.1.

Пример схемы  для метода различающей функции

Рис. 17.1. Пример схемы для метода различающей функции

Применим метод различающей функции для построения проверяющего входного набора для константной неисправности х_{1}\equiv 1. В этом случае имеем:

  1. функцию, реализуемую исправной схемой f(x)=(x_1\&x_2)\vee(x_2\&\overline{x}_3);
  2. функцию, которая реализуется неисправной схемой, \varphi(x)=x_2\vee(x_2\&\overline{x}_3)=x_2.

Тогда различающая функция равна: D(х_{1}\equiv 1)=f(x)\oplus \varphi(x)= =((x_1\&x_2)\vee(x_2\&\overline{x}_3)) \oplus x_{2}=x_{2}((x_{1}\vee\overline{x}_3)\oplus 1)=x_2\overline{(x_{1}\vee\overline{x}_3)}=x_2\overline{x}_1x_3.

Очевидно, что равенство D(x_{1}\equiv 1)=1 обеспечивает набор значений входных переменных x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=1, который и является проверяющим тестом для данной неисправности. Для больших схем этот метод становится слишком громоздким и требует больших вычислительных ресурсов. Однако следует отметить, что современные методы символьных вычислений (над булевыми выражениями) позволяют расширить его возможности.

17.2 Метод булевых производных

Булева производная функции f(X) по переменной x_{i} определяется следующим выражением: \cfrac{df}{dx_i}=f(x_i=0)\oplus f(x_i=1) [17.2]. Существует и другое, эквивалентное приведённому, определение булевой производной: \cfrac{df}{dx_i}=f(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots,x_n)\oplus f(x_1,\ldots,x_{i-1},\overline{x}_i,x_{i+1},\ldots,x_n) .

Например, для булевой функции f=x_1x_2\vee x_2\overline{x}_3, булева производная 
\cfrac{df}{dx_1}= x_2x_3\oplus(x_2\vee x_2\overline{x}_3) = x_{2}(x_{3}\oplus 1) = x_2\overline{x}_3 .

При вычислении булевых производных сложных функций полезны следующие свойства булевых производных:

  • \cfrac{d1}{dx_i}=0, \cfrac{d0}{dx_i}=0;
  • \cfrac{d}{dx_i}(\cfrac{df}{dx_i})=0;
  • \cfrac{d}{dx_i}(\cfrac{df}{dx_j})=\cfrac{d}{dx_j}(\cfrac{df}{dx_i});
  • \cfrac{d\overline{f}}{dx_i}=\cfrac{df}{dx_i};
  • \cfrac{d}{dx_i}(f\oplus\varphi)= \cfrac{df}{dx_i}\oplus\cfrac{d\varphi}{dx_i};
  • \cfrac{d}{dx_i}(f\cdot\varphi)= f\cfrac{d\varphi}{dx_i}\oplus\varphi\cfrac{df}{dx_i}\oplus\cfrac{df}{dx_i}\cdot\cfrac{d\varphi}{dx_i};
  • \cfrac{d}{dx_i}(f\vee\varphi)=\overline{f}\cfrac{d\varphi}{dx_i}\oplus\overline{\varphi}\cfrac{df}{dx_i}\oplus\cfrac{df}{dx_i}\cdot\cfrac{d\varphi}{dx_i}.

Важны следующие частные случаи этих формул для функции g, не зависящей от переменной x_{i}:

  • \cfrac{d}{dx_i}(f\oplus g)= \cfrac{df}{dx_i};
  • \cfrac{d}{dx_i}(f\vee g)=\overline(g) \cfrac{df}{dx_i};
  • \cfrac{d}{dx_i}(g\cdot f)=g\cfrac{df}{dx_i};
  • для f=x_1x_2\ldots x_{i-1}x_ix_{i+1}\ldots x_n\\\cfrac{df}{dx_i}= x_1x_2\ldots x_{i-1}x_ix_{i+1}\ldots x_n;
  • для 
f=x_1\vee x_2\vee\ldots\vee x_{i-1}\vee  x_i\vee  x_{i+1}\vee  \ldots\vee x_n\\
\cfrac{df}{dx_i}= \overline{x}_1\overline{x}_2\ldots \overline{x}_{i-1}\overline{x}_i\overline{x}_{i+1}\ldots \overline{x}_n

На практике важным является дифференцирование сложных функций, когда функция F явно не зависит от переменной x_{i}F = F(f(x_{1},..,x_{i},..,x_{n}),x_{1},..,x_{i}_{-1},x_{i}_{+1},..,x_{n}).

В этом случае имеет место \cfrac{dF}{dx_i}=\cfrac{dF}{df}\cdot\cfrac{df}{dx_i}.

Для булевых функций справедливо следующее разложение Тейлора по переменной x_{i} в точке x_{i}=h_{i} с использованием булевой производной:

f=f(x_i=h_i)\oplus\cfrac{df}{dx_i}(x_i\oplus h_i)

Тогда различающая функция неисправности для h_{i} может быть представлена следующим образом:

D(h_i)=F(x,x_i)\oplus F(x,x_i=h_i), где h_{i} =0,1.

Используя разложение Тейлора функции F по переменной x_{i} в точке h_{i}, получаем:

D(h_i)=F(X,x_i=h_i)\oplus\cfrac{dF}{dx_i}(x_i\oplus h_i)\oplus F(X,x_i=h_i)= \cfrac{dF}{dx_i}(x_i\oplus h_i)

Здесь второй сомножитель (x_i\oplus h_i) даёт условие различения сигналов x_{i} и h_{i} в исправной и неисправной схеме на линии i. Первый же сомножитель определяет условие распространения рассогласования сигнала в исправной и неисправной схеме до выхода схемы F. Это соотношение является основой для метода булевых производных.

Таким образом, для построения теста для константной неисправности h_{i}\equiv 0 необходимо решить булево уравнение (найти значения входных переменных) x_i\cfrac{dF}{dx_i}=1, а для неисправности h_{i}\equiv 1 - уравнение \overline{x}_i\cfrac{dF}{dx_i}=1.

Рассмотрим метод булевых производных на примере построения теста неисправности x_{1}\equiv 0 для схемы рис. 17.2. Для построения теста нам необходимо решить уравнение x_1\cfrac{df}{dx_1}=1.

Иллюстрация метода булевых производных

Рис. 17.2. Иллюстрация метода булевых производных

При вычислениях используем приведенные выше свойства булевых производных и получаем:


\cfrac{df}{dx_1}=\cfrac{df}{dx_8}\cfrac{dx_8}{dx_6}\cfrac{dx_6}{dx_1}\\
\cfrac{df}{dx_8}=\overline{x_9}=\overline{x_7\overline{x_3}}=x_3\vee\overline{x_4}\,\overline{x_5}\\
\cfrac{dx_8}{dx_6}=x_3\\
\cfrac{dx_6}{dx_1}=\overline{x_2}\\
\cfrac{df}{dx_1}=( x_3\vee\overline{x_4}\,\overline{x_5})x_3\overline{x_2}= x_3\overline{x_2}=1\\
x_1\cfrac{df}{dx_1}=x_1x_3\overline{x_2}=1

Из этого выражения следует, что набор значений входов x_{1}=1, x_{2}=0, x_{3}=1 является проверяющим тестом для данной неисправности.

Рассмотрим построение теста для неисправности x_{7}\equiv 1 внутренней линии той же схемы.


\overline{x_7}\cfrac{df}{dx_7}=1\\
\cfrac{df}{dx_7}=\cfrac{df}{dx_9}\cdot\cfrac{dx_9}{dx_7}\\
\cfrac{df}{dx_9}=\overline{x_8}=\overline{x_3x_6}=\overline{x_3(x_1\vee x_2)}=\overline{x_3}\vee\overline{x_1}\,\overline{x_2}\\
\cfrac{dx_9}{dx_7}=\overline{x_3}\\
\cfrac{df}{dx_7}=(\overline{x_3}\vee\overline{x_1}\,\overline{x_2})\overline{x_3}=\overline{x_3}\\
\overline{x_7}\,\overline{x_3}=1\\
\overline{x_4x_5}\,\overline{x_3}=1\\
(\overline{x_4}\vee\overline{x_5})\overline{x_3}=1\\
\overline{x_4}\,\overline{x_3}\vee\overline{x_5}\,\overline{x_3}=1

Таким образом, для проверки данной неисправности можно использовать наборы x_{4}=0, x_{3}=0 или x_{5}=0, x_{3}=0, что следует из последнего выражения для различающей функции.

< Лекция 16 || Лекция 17: 12 || Лекция 18 >
Дмитрий Медведевских
Дмитрий Медведевских

Добрый день  можно поинтересоваться где брать литературу предложенную в курсе ?Большинство книг я не могу найти  в известных источниках

Владимир Крюков
Владимир Крюков
Казахстан