Московский государственный университет путей сообщения
Опубликован: 06.09.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 954 / 56 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 35:22:00
Специальности: Разработчик аппаратуры
Лекция 7:

Система многозначных алфавитов и функций

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Основные многозначные алфавиты как подмножества универсального 16-значного алфавита

Наиболее широко применяемый на практике алфавит E_3 образует следующее подмножество алфавита B_{16}:0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111). Рассмотрим пример вычисления функции f=a \vee b в троичном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5.

Пусть a=1:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=0,a^1=1, и b=0:b^0=1, b^{D^\prime}=0,b^D=0,b^1=0, тогда получаем

f^0=0\cdot 1=0\\ f^{D^\prime}=0\cdot 1 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0=0\\f^D=0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =0\\f^1=1 \vee 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =1

Таким образом, согласно кодированию алфавита B_{16} (Табл.7.1) код f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=0,f^1=1 определяет значение f=1, что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в троичном алфавите.

Алфавит E_5, являющийся расширением алфавита E3, определяется следующим подмножеством 16-значного алфавита:

0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),E=\lbrace 0 \cup D^\prime \cup 1 \rbrace (\text{код }1101),\\H=\lbrace 0 \cup D \cup 1 \rbrace (\text{код }1011), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)

Рассмотрим пример вычисления функции f=a \vee b в 5-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5.

Пусть a=0:a^0=1, a^{D^\prime}=0,a^D=0,a^1=0, и b=E:b^0=1, b^{D^\prime}=1,b^D=0,b^1=1, тогда получаем


f^0=1 \cdot 1=1\\
f^{D^\prime}=0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 1 \vee 0 \cdot 1=1\\
f^D=0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =0\\
f^1=0 \vee 1 \vee 0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 =1

То есть, согласно кодированию алфавита B_{16} код f^0=1, f^{D^\prime}=1,f^D=0,f^1=1 определяет значение f=E, что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в 5-значном алфавите.

На рис.7.2 представлена алгебраическая структура алфавитов E_3 и E_5. В силу построения рассмотренные алфавиты являются частично упорядоченными подмножествами и образуют структуры типа верхняя полурешетка

Таблица 7.8.
Элементы Интерпретация
0 \times 0 \times 0 Статический 0
1 \times 1 \times 1 Статическая 1
0 \times u \times 1 Переход 0 \to 1
1 \times u \times 0 Переход 1 \to 0
0 \times u \times 0 Статическое 0-состязание
1 \times u \times 1 Статическое 1-состязание
Таблица 7.9.
Элементы Интерпретация
0 \times 0 \times 0 Статический 0
1 \times 1 \times 1 Статическая 1
0 \times E \times 1 Переход 0 \to 1
1 \times H \times 0 Переход 1 \to 0
0 \times u \times 0 Статическое 0-состязание
1 \times u \times 1 Статическое 1-состязание
0 \times H \times 1 Динамическое 1-состязание
1 \times E \times 0 Динамическое 0-состязание

Отметим, что 6-значный и 8-значный алфавиты H_6 и H_8 соответственно, используемые в методах анализа состязаний сигналов также могут быть получены из алфавита B_{16}, так как определяются следующими подмножествами: H_6 \subseteq B_2 \times E_3 \times B_2, H_8 \subseteq B_2 \times E_5 \times B_2. При этом, как было показано в разделе 2.9.2, моделирование с анализом на состязания выполняется на трех наборах: текущем основном в алфавите B_2, на промежуточном наборе: при использовании H_6 - в алфавите E_3 (при использовании H_8 - в алфавите E_5) следующем основном наборе в алфавите B_2. Такой способ моделирования с использованием трех наборов соответствует математической структуре алфавитов H_6 и H_8. Результаты моделирования интерпретируются в соответствии с таблицами 7.8 и 7.9 соответственно. Отметим, что алфавит H_8 позволяет обнаруживать динамические состязания. В алгоритмах анализа состязаний иногда используется также алфавит H_9, содержащий все элементы алфавита H_8и элемент u \times u \times u, соответствующий неопределенному состоянию.

Алфавит T_6, наиболее широко применяемый в методах генерации тестов (он будет дальше использоваться в лекции является подмножеством 16-значного алфавита:

\varnothing=\lbrace \varnothing \rbrace (\text{код }0000), 0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),\\ D=\lbrace D \rbrace (\text{код }0010),D^\prime=\lbrace D^\prime \rbrace (\text{код }0100), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)

Рассмотрим пример вычисления функции f=a \vee b в 6-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5. Пусть a=D:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=1,a^1=0, и b= D^\prime:b^0=0, b^{D^\prime}=1,b^D=0,b^1=0, тогда получаем


f^0=0 \cdot 0=0\\
f^{D^\prime}=0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 1=0\\
f^D=1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 1 \cdot 0 =0\\
f^1=0 \vee 0 \vee 1 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 =1

То есть, согласно кодированию алфавита B_{16} (Табл.7.1) код f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=0,f^1=1 определяет значение f=1, что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в алфавите T_6.

Широкое применение в методах генерации тестов находит также алфавит T_{10}, являющийся подмножеством 16-значного алфавита. Он определяется следующим его подмножеством:

\varnothing=\lbrace \varnothing \rbrace (\text{код }0000), 0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),\\ D=\lbrace D \rbrace (\text{код }0010),D^\prime=\lbrace D^\prime \rbrace (\text{код }0100), G0=\lbrace 0 \cup D^\prime \rbrace (\text{код }1100), \\ F0=\lbrace 0 \cup D \rbrace (\text{код }0101),  G1=\lbrace D \cup 1 \rbrace (\text{код }0011), F1=\lbrace D^\prime \cup 1 \rbrace (\text{код }1010), \\ u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)

Рассмотрим пример вычисления функции f=a \vee b в 10-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5. Пусть a=D:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=1,a^1=0, и b= G1:b^0=0, b^{D^\prime}=0,b^D=1,b^1=0, тогда получаем


f^0=0 \cdot 0=0\\
f^{D^\prime}=0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0=0\\
f^D=1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 1 =1\\
f^1=0 \vee 1 \vee 1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 =1

Тогда, согласно кодированию алфавита B_{16}(Табл.7.1), код f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=1,f^1=1 определяет значение f=G1, что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в алфавите T_{10}. В генерации тестов используется также и 12-значный T_{12}=\lbrace \varnothing, 0,1,D^\prime,D,F0,F1,G0,G1,D^*,C,u \rbrace алфавит, также являющиеся расширением алфавита T_6.

Из выше сказанного можно сделать заключение, что при методе кодирования, используемом в алфавите B_{12}, описание поведения многозначных функций с помощью упорядоченного множества характеристических функций f^0, f^{D^\prime},f^D,f^1 может быть использовано в методах генерации тестов и моделирования логических схем, базирующихся на применении основных многозначных алфавитов. С этой точки зрения описанная 16-значная логика (B_{16}(f^0, f^{D^\prime},f^D,f^1)) является универсальной математической моделью для методов генерации тестов и моделирования.

Алгебраическая структура многозначных алфавитов

Показано, что рассмотренный 16-значный алфавит B_{16}образует булеву алгебру, представленную на Рис.7.1. Используемый метод построения позволяет утверждать, что основные многозначные алфавиты, применяемые в методах генерации проверяющих тестов и моделирования ДУ, являются частично упорядоченными подмножествами B_{16}. Так, например, алфавиты E_3и E_5образуют структуры типа верхняя полурешетка, которые не содержат наименьший элемент. Эти структуры представлены на рис.7.2а и рис.7.2б. Если к алфавиту E_3добавить наименьший элемент \varnothing, то получим алфавит C_4, также представленный на рис.7.2в, который используется при моделировании шинных структур. Знание алгебраической структуры основных многозначных алфавитов позволяет строить с помощью алгебраических операций новые алфавиты, необходимые при моделировании или генерации тестов схем, выполненных по какой либо новой технологии. Например, на рис.7.2г, рис.7.2д представлены алфавиты L_1 и L_2, которые получены из алфавита C_4и широко используются при моделировании шинных структур.

Алгебраическая структура B_16

Рис. 7.1. Алгебраическая структура B_16
Алгебраическая структура многозначных алфавитов

Рис. 7.2. Алгебраическая структура многозначных алфавитов
< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Дмитрий Медведевских
Дмитрий Медведевских

Добрый день  можно поинтересоваться где брать литературу предложенную в курсе ?Большинство книг я не могу найти  в известных источниках

Дмитрий Кифель
Дмитрий Кифель
Казахстан, Темиртау
Ирина Лысенко
Ирина Лысенко
Россия, Ленинград, ЛПИ, 1985