Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 19.11.2003 | Доступ: свободный | Студентов: 11225 / 4238 | Оценка: 4.36 / 4.13 | Длительность: 13:09:00
ISBN: 978-5-9556-0102-1
Лекция 11:

Криптография с использованием эллиптических кривых

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >
Аннотация: Рассматривается криптография с использованием эллиптических кривых. Описаны математические понятия, связанные с эллиптическими кривыми, в частности задача дискретного логарифмирования на эллиптической кривой. Дано описание аналога алгоритма Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых, алгоритма цифровой подписи на эллиптических кривых и алгоритма шифрования с открытым ключом получателя на эллиптических кривых.

Математические понятия

Преимущество подхода на основе эллиптических кривых в сравнении с задачей факторизации числа, используемой в RSA, или задачей целочисленного логарифмирования, применяемой в алгоритме Диффи-Хеллмана и в DSS, заключается в том, что в данном случае обеспечивается эквивалентная защита при меньшей длине ключа.

В общем случае уравнение эллиптической кривой   Е имеет вид:

y2 + axy + by = x3 + cx2 + dx + e

В качестве примера рассмотрим эллиптическую кривую   Е, уравнение которой имеет вид:

y2 + y = x3 - x2

На этой кривой лежат только четыре точки, координаты которых являются целыми числами. Это точки

А (0, 0), В (1, -1), С (1, 0) и D (0, -1)

Пример эллиптической кривой с четырьмя точками

Рис. 11.1. Пример эллиптической кривой с четырьмя точками

Для определения операции сложения для точек на эллиптической кривой сделаем следующие предположения:

  • На плоскости существует бесконечно удаленная точка 0 \in  Е, в которой сходятся все вертикальные прямые.
  • Будем считать, что касательная к кривой пересекает точку касания два раза.
  • Если три точки эллиптической кривой лежат на прямой линии, то их сумма есть 0.
Сложение точек на эллиптической кривой

Рис. 11.2. Сложение точек на эллиптической кривой

Введем следующие правила сложения точек на эллиптической кривой:

  • Точка 0 выступает в роли нулевого элемента. Так, 0 = -0 и для любой точки Р на эллиптической кривой Р + 0 = Р.
  • Вертикальная линия пересекает кривую в двух точках с одной и той же координатой х - скажем, S = (x, y) и T = (x, -y). Эта прямая пересекает кривую и в бесконечно удаленной точке. Поэтому Р1 + Р2 + 0 = 0 и Р1 = -Р2.
  • Чтобы сложить две точки P и Q (см. рисунок 11.2) с разными координатами х, следует провести через эти точки прямую и найти точку пересечения ее с эллиптической кривой. Если прямая не является касательной к кривой в точках P или Q, то существует только одна такая точка, обозначим ее S. Согласно нашему предположению

    P + Q + S = О

Следовательно,

P + Q = -S
или
P + Q = T

Если прямая является касательной к кривой в какой-либо из точек P или Q, то в этом случае следует положить S = P или S = Q соответственно.

  • Чтобы удвоить точку Q, следует провести касательную в точке Q и найти другую точку пересечения S с эллиптической кривой. Тогда Q + Q = 2 x Q = -S.

Введенная таким образом операция сложения подчиняется всем обычным правилам сложения, в частности коммутативному и ассоциативному законам. Умножение точки Р эллиптической кривой на положительное число k определяется как сумма k точек Р.

В криптографии с использованием эллиптических кривых все значения вычисляются по модулю р, где р является простым числом. Элементами данной эллиптической кривой являются пары неотрицательных целых чисел, которые меньше р и удовлетворяют частному виду эллиптической кривой:

y^{2} \equiv  x^{3} + ax + b (mod\ p)

Такую кривую будем обозначать Ep (a,b). При этом числа а и b должны быть меньше р и должны удовлетворять условию 4a^{3} + 27b^{2} (mod\ p) \ne  0. Множество точек на эллиптической кривой вычисляется следующим образом.

  1. Для каждого такого значения х, что 0 <= х <= р, вычисляется x3 + ax + b (mod p).
  2. Для каждого из полученных на предыдущем шаге значений выясняется, имеет ли это значение квадратный корень по модулю р. Если нет, то в Ep (a,b) нет точек с этим значением х. Если корень существует, имеется два значения y, соответствующих операции извлечения квадратного корня (исключением является случай, когда единственным значением оказывается y = 0 ). Эти значения (x,y) и будут точками Ep (a,b).

Множество точек Ep (a,b) обладает следующими свойствами:

  1. Р + 0 = Р
  2. Если Р = (x,y), то Р + (x,-y) = 0. Точка (x,-y) является отрицательным значением точки Р и обозначается . Заметим, что (x,-y) лежит на эллиптической кривой и принадлежит Ep (a,b).
  3. Если Р = (x1,y1) и Q = (x2,y2), где P \ne  Q, то P + Q = (x3,y3) определяется по следующим формулам:
    x_{3}\equiv \lambda^{2} - x_{1} - x_{2} (mod\ p)\\
y_{3} \equiv\lambda(x_{1} - x_{3}) - y_{1} (mod\ p)

где

\lambda  = \left\{
\begin{aligned}
&(y_{2} - y_{1})/(x_{2} - x_{1}), &если\ P \ne Q \\
&(3x_{1}^{2} + a)/2y_{1}, &если\ P = Q 
\end{aligned}
\right.

Число \lambda есть угловой коэффициент секущей, проведенной через точки P = (x1, y1) и Q = (x2, y2). При P = Q секущая превращается в касательную, чем и объясняется наличие двух формул для вычисления \lambda.

Задача, которую должен решить в этом случае атакующий, есть своего рода задача "дискретного логарифмирования на эллиптической кривой", и формулируется она следующим образом. Даны точки P и Q на эллиптической кривой   Ep (a,b). Необходимо найти коэффициент k < p такой, что

P = k x Q

Относительно легко вычислить P по данным k и Q, но довольно трудно вычислить k, зная P и Q.

Рассмотрим три способа использования эллиптических кривых в криптографии.

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >
Роман Попов
Роман Попов

После прохождения курса Стандарты инфрмационной безопасности мне предложено получение Удостоверения о повышении квалификации от НИУ ВШЭ по программе Менеджмент информационной безопасности. Программа включает в себя ряд курсов которые я уже ранее проходил. Какой порядок действий в данном случае? Как прозводится перезачет результатов? И какие экщамены мне надо еще доздать чтобы получить удостоверение?

Андрей Осипов
Андрей Осипов

Здравствуйте! Хотелось бы прояснить следующий вопрос: у МТИ приостановлена государственная аккредитация и когда будет восстановлена- неизвестно, а в диплом о профпереподготовке выдается на базе МТИ (как я понял). Как будет обстоять дело с получением диплома?

Вопрос важный и актуальный, потому что необходимо срочно пройти обучение и получить диплом и не хотелось бы тратить время и платить деньги зря (если диплом окажется недействительным и т.п.). Разъясните, пожалуйста, подробнее ситуацию.

Сергей Пантелеев
Сергей Пантелеев
Россия, Москва
Геннадий Шестаков
Геннадий Шестаков
Беларусь, Орша