Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 30.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1442 / 159 | Оценка: 4.24 / 3.92 | Длительность: 14:56:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Методы генерации признаков

Аннотация: В данной лекции рассматриваются методы генерации признаков. Приведены практические примеры, основные определения и теоремы

11.1. Генерация признаков на основе линейных преобразований

В данном разделе рассматриваются способы генерации признаков через линейные преобразования исходных измерений образов. Целью такой генерации признаков является сокращение информации до "значимой", т.е. надо просто преобразовать исходное множество измерений в новое множество признаков. Обычно задача состоит в выделении низкочастотных компонент, содержащих основную информацию.

11.1.1. Базисные вектора

Пусть

  • x(0),x(1),\ldots,x(N-1) – множество исходных измерений,
  • X^T=[x(0),\ldots,x(N-1)] – соответствующий вектор столбец.

Рассмотрим унитарную матрицу A_{N\times N}. Для действительной матрицы A_{N\times N} условие унитарности обозначает, что матрица A_{N\times N} ортогональная, т.е. A_{N\times N}^{-1}=A_{N\times N}^T. Для комплексной матрицы A_{N\times N} условие унитарности обозначает, что A_{N\times N}^{-1}=A_{N\times N}^H, где матрица A_{N\times N}^H - транспонированная (сопряженная).

Пусть

y=A^H X=
\left(
\begin{gathered}
a_0^H \\
a_1^H \\
\vdots \\
a_{N-1}^H
\end{gathered}
\right)
\cdot X
где a_0^H,a_1^H,\ldots,a_{N-1}^H – строки из транспонированных столбцов a_i и A=(a_0,a_1,\ldots,a_{N-1}). Тогда
x=(AA^{-1})x=(AA^H)x=AA^H x=Ay=\sum_{i=0}^{N-1}y(i)a_i.

Вектора a_i называются базисными векторами. Таким образом, в силу ортогональности a_i между собой, y(i) – это проекция вектора x на базисные вектора.

11.1.2. Случай двумерных образов.

Пусть x(i,j),\;i,j=0,1,\ldots,N-1 – двумерные измерения. Очевидно, что представление его в виде вектора размерности N^2 неэффективно. Альтернативой является преобразование x через базисные матрицы.

Пусть U_{N\times N} и V_{N\times N} – унитарные матрицы. Определим матрицу преобразования X в Y:

Y=U^HXV.

Учитывая, что \def\I{\mathop{I}}  UU^H=\I\limits^{.} и \def\I{\mathop{I}}  VV^H=\I\limits^{.}, имеем

X=UYV^H

Следовательно

X=\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{J=0}^{N-1}Y(i,j)\cdot u_i\cdot\nu_j^H ( 11.1)

Пусть

  • U=(u_0,u_1,\ldots,u_{N-1}), где u_i – вектор-столбец,
  • V=(\nu_0,\nu_1,\ldots,\nu_{N-1}), где \nu_j^H – вектор-строка.

Тогда

A_{ij}=u_i\nu_j^H=
\begin{pmatrix}
u_{i,0}\nu_{j,0}^* & u_{i,0}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,0}\nu_{j,N-1}^* \\
u_{i,1}\nu_{j,0}^* & u_{i,1}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,1}\nu_{j,N-1}^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
u_{i,N-1}\nu_{j,0}^* & u_{i,N-1}\nu_{j,1}^* & \ldots & u_{i,N-1}\nu_{j,N-1}^* 
\end{pmatrix}.

Таким образом (11.1) есть выражение x в терминах N^2 базисных матриц. Если Y – диагональная, то (X=\sum_{i=0}^N-1) – это разложение по базисным матрицам или образам.

Также возможна следующая запись:

Y(i,j)=X,\langle A_{ij}\rangle.

Тогда

\langle A,B\rangle=\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}A(m,n)\cdot B^*(m,n).

Евгений Шаров
Евгений Шаров
Россия, Североморск, школа№11, 1991