НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 12: Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5968 / 2125 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 68 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Метод Рунге - Кутта 2-го порядка (модифицированный метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h₃, h₄, h₅:.

Тогда

$y(x_i+h)=y(x_i)+h\cdot y'(x_i)+\frac{h^2}{2!} \cdot y"(x_i).$

( 12.6)

Чтобы сохранить член ряда, содержащий h², надо определить вторую производную y"(x_i).Ее можно аппроксимировать разделенной разностью 2-го порядка

$y"=(x_i)=\frac{\Delta y'}{\Delta x}= \frac{y'(x_i+h)-y'(x_i)}{h}$

Подставляя это выражение в (12.6), получим

$y=(x_i+h) =y(x_i) + h\cdot y'(x_i) + \frac{h}{2} \cdot \frac{y'(x_i+h)-y'(x_i)}{h}=\\ =y(x_i) + \frac{h}{2}y'(x_i) + \frac{h}{2}y'(x_i+h).$

Окончательно, модифицированная или уточненная формула Эйлера имеет вид:

$y_{i+1}=y_i + \frac{h}{2}f(x_i,y_i) + \frac{h}{2}f(x_{i+1},y_{i+1}).$

( 12.7)

Как видно, для определения функции y(x) в точке i+1 необходимо знать значение правой части дифференциального уравнения f(x_i+1, y_i+1) в этой точке, для определения которой необходимо знать предварительное значение y_i+1.

Для определения предварительного значения y_i+1 воспользуемся формулой Эйлера. Тогда все вычисления на каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера будем выполнять в два этапа:

На первом этапе вычисляем предварительное значение $y_{i+1}^Э$ по формуле Эйлера

$y_{i+1}^Э = y_i + hf(x_i,y_i).$

На втором этапе уточняем значение y=_i+1 по модифицированной или уточненной формуле Эйлера

$y_{i+1} = y_i + \frac{h}{2}f(x_i,y_i) + \frac{h}{2}f(x_{i+1},y_{i+1}^Э).$

Точность метода определяется отброшенными членами ряда Тейлора (12.4), т.е. точность уточненного или модифицированного метода Эйлера на каждом шаге $\approx h^3$ .

Рассмотрим геометрический смысл модифицированного метода Эйлера.

Так как

$f(x_i,y_i) = y'(x) = \tg\alpha_i,\\ f(x_{i+1},y_{i+1}) = y'(x_{i+1}) = \tg\alpha_{i+1},$

то модифицированную формулу Эйлера можно представить в виде:

$y_{i+1} = y_I + \frac{h}{2}\tg\alpha_i + \frac{h}{2}\tg\alpha_{i+1},$

где

$\tg \alpha_i$ - тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(х) в начальной точке каждого шага,

$\tg \alpha_{i+1}$ - тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(х) в конечной точке каждого шага.

Рис. 12.12. Геометрический смысл модифицированного метода Эйлера

Здесь

P₁ - накопленная ошибка в (i+1)^й точке по методу Эйлера,

P₂ - накопленная ошибка в (i+1)^й точке по модифицированному методу Эйлера.

Как видно из рис.12.11, в первой половине каждого шага, то есть на участке [x_i, x_i+h/2], искомая функция y(x) аппроксимируется прямой, которая выходит из точки (x_i, y_i) под углом, тангенс которого $\tg \alpha_i = f(x_i,y_i)$ .

Во второй половине этого же шага, т.е. на участке [x_i + h/2,x_i + h], искомая функция y(x) аппроксимируется прямой, которая выходит из точки с координатами

$x=x_i + h/2,\\ y=y_i = \frac{h}{2} \cdot f(x_i,y_i)$

под углом, тангенс которого

$\tg \alpha_{i+1} = f(x_{i+1},y_{i+1}^Э).$

В результате в модифицированном методе Эйлера функция у(х) на каждом шаге аппроксимируется не одной прямой, а двумя.

Алгоритм модифицированного метода Эйлера можно построить в виде двух программных модулей: основной программы и подпрограммы МELER, реализующей метод (рис. 12.13).

Рис. 12.13. Схема алгоритма модифицированного метода Эйлера

Здесь

(x,y) -при вводе начальная точка, далее текущие значения табличной функции,

h -шаг интегрирования дифференциального уравнения,

b -конец интервала интегрирования.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое моделирование

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

Метод Рунге - Кутта 2-го порядка (модифицированный метод Эйлера)

Вопросы и ответы