Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4556 / 1239 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 12:

Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Аннотация: В лекции рассматриваются методы моделирования систем, в которых входные переменные являются функциями от времени или каких-либо других параметров.

Динамические системы - это системы, в которых входные переменные являются функциями от времени или каких-либо других параметров. Описываются эти системы дифференциальными и интегральными уравнениями. Например, большая часть законов механики, электротехники, теории упругости, теории управления и т.д. описываются с помощью дифференциальных уравнений.

На практике динамические системы встречаются очень часто. Моделирование систем, связанных с движением тел, с расчетом потоков энергии, с расчетом потоков материальных ресурсов, с расчетом оборотов денежных средств и т.д. в конечном счете, сводится к построению и решению дифференциальных уравнений (как правило, II-го порядка).

Прямолинейное движение тела, движущегося под действием переменной силы F(t, S, \dot S),где S=S(t), описывается дифференциальным уравнением второго порядка в форме уравнения Ньютона:

m \cdot \ddot S = F(t, S, \dot S)

где

m - масса тела,

S - перемещение тела,

\dot S -линейная скорость,

\ddot S -линейное ускорение.

При этом задаваемые начальные условия

S \left|_{t=0}= S_0
\dot S \left|_{t=0}= \dot S_0
имеют четкий физический смысл. Это - начальное положение тела и его начальная скорость.

Вращательное движение тела под действием крутящего момента Mкр(t,\varphi, \dot \varphi), где \varphi = \varphi(t), описывается аналогично

Ip \cdot \ddot \varphi = M(t,\varphi,\dot \varphi),

Где

- полярный момент инерции тела,

\varphi -угол поворота,

\dot \varphi - угловая скорость,

\ddot \varphi - угловое ускорение.

При построении математических моделей систем, машин, механизмов с учетом колебаний, возникающих в них, также необходимо построить и решить дифференциальное уравнение, т.к. все виды колебаний (свободные гармонические, вынужденные) также описываются дифференциальными уравнениями.

На практике лишь небольшое число дифференциальных уравнений допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Поэтому большое распространение при решении математических моделей с помощью ЭВМ получили численные методы решения дифференциальных уравнений.

Нахождение определенного интеграла в процессе моделирования объектов процессов или систем может применяться в следующих задачах:

  1. Определение пути при переменной скорости:
    S=\int \limits_{t0}^{t}V(t)dt
  2. Нахождение скорости при переменном ускорении:
    V=\int \limits_{t0}^{t}\alpha(t)dt
  3. Определение моментов инерции тел:
    Y_x=\int x^2 dm
  4. Нахождение работы переменной силы:
    A=\int \limits_{t0}^{t}F(t)dt
  5. При решении дифференциальных уравнений.

Итак, дана функция y=f(x).

Найти интеграл этой функции на участке [a,b], т.е. найти

\int\limits_a^b f(x)dx.

Если подынтегральная функция f(x) задана в аналитическом виде;

если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ;

если известна ее первообразная, т.е.

F'(x)=f(x),    x \in [a,b],

то интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной на участке [a,b], т.е.

\int \limits_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).

Но на практике формула Ньютона-Лейбница для вычисления интеграла используется редко. Численные методы интегрирования применяются в следующих случаях:

  1. подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a,b] ;
  2. подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не выражается через элементарные функции;
  3. подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно.

В численных методах интегрирования не используется нахождение первообразной. Основу алгоритма численных методов интегрирования составляет геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, расположенной под подынтегральной кривой f(x) на участке [a,b] (рис.12.1).

Геометрический смысл определенного интеграла

Рис. 12.1. Геометрический смысл определенного интеграла

Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади. Поэтому все численные методы являются приближенными.

При вычислении интеграла подынтегральная функция f(x) аппроксимируется интерполяционным многочленом. На практике чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, весь участок [a,b] делят на части и интерполяционные многочлены строят для каждой части деления.

Порядок вычисления интеграла численными методами следующий (рис.12.2):

  1. Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.
  2. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом. Степень многочлена n = 0,1,2:
  3. Для каждой части деления определяем площадь частичной криволинейной трапеции.
  4. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных трапеций
    I=\sum \limits_{i=0}^{n-1}S_i
Вычисление определенного интеграла

Рис. 12.2. Вычисление определенного интеграла

Нахождение приближенного значения интеграла называется квадратурой, а формулы для приближенного вычисления интеграла - квадратурными формулами или квадратурными суммами.

Разность R между точным значением интеграла и приближенным значением называется остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы, т.е.

R=\int \limits_a^bf(x)dx - \sum \limits_{i=0}^{n-1}S_i.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX, то квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод - методом прямоугольников.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки, то квадратурная формула называется формулой трапеций, а метод - методом трапеций.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени, то квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод - методом Симпсона.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345678910
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003