Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов

В этом методе при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были минимальными (рис 11.6), т.е.

( 11.6)

Рис. 11.6.

Избавимся от знака уклонения. Тогда условие (11.6) будет иметь вид:

( 11.7)

Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем: для табличных данных, полученных в результате эксперимента, отыскать аналитическую зависимость F(x), сумма квадратов уклонений которой от табличных данных по всем узловым точкам была бы минимальной, т.е.

( 11.8)

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем выбирать из класса алгебраических многочленов степени m:

( 11.9)

Назовем многочлен (11.9) аппроксимирующим многочленом. Аппроксимирующий многочлен не проходит через все узловые точки таблицы. Поэтому его степень m не зависит от числа узловых точек. При этом всегда m < n. Степень m может меняться в пределах .

Если m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией. Такая задача называется линейной регрессией.

Если m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой. Такая задача называется квадратичной аппроксимацией.

Если m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой. Такая задача называется кубической аппроксимацией.

Уточним метод наименьших квадратов: для табличной функции, полученной в результате эксперимента, построить аппроксимирующий многочлен (11.9) степени m, для которого сумма квадратов уклонений по всем узловым точкам минимальна, т.е.

( 11.10)

Изменим вид многочлена P_m. Поставим на последнее место слагаемые, содержащие x^m. На предпоследнее - слагаемые, содержащие x^m-1 и т.д. В результате получим:

( 11.11)

или

При этом изменим индексы коэффициентов многочлена. Тогда условие (11.8) будет иметь вид:

где

x_i и y_i - координаты узловых точек таблицы,

a_j, -неизвестные коэффициенты многочлена (11.11).