Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4631 / 1256 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Аннотация: В лекции рассматриваются методы решения задач аппроксимации и интерполяции опытных данных.

Любому специалисту в своей практической деятельности приходится изучать зависимости между различными параметрами исследуемых объектов, процессов и систем.

Например: зависимость числа оборотов двигателя от нагрузки, т.е. n=f(Мкр.) ; зависимость силы резания при обработке детали на металлорежущем станке от глубины резания, т.е. P=f(t), и т.д.

Из всех способов задания зависимостей наиболее удобным является аналитический способ задания зависимости в виде функции n=f(Мкр.), P=f(t), y=f(t).

Однако на практике специалист чаще всего получает зависимости между исследуемыми параметрами экспериментально. В этом случае ставится натурный эксперимент, изменяются значения параметров на входе системы, измеряются значения параметров на выходе системы. Результаты измерений заносятся в таблицу.

Таким образом, в результате проведения натурного эксперимента получаем зависимости между исследуемыми параметрами в виде таблицы, т.е. получаем, так называемую, табличную функцию.

Далее с этой табличной функцией необходимо вести научно-исследовательские расчеты. Например, необходимо проинтегрировать или продифференцировать табличную функцию и т.д.

Рассмотрим две задачи по обработке опытных данных:

  1. задачу интерполирования,
  2. задачу аппроксимации.

Интерполирование функций

Дана табличная функция, т.е. дана таблица, в которой для некоторых дискретных значений аргумента xi, расположенных в порядке возрастания, заданы соответствующие значения функции уi:

i x y
0 x0 y0
1 x1 y1
2 x2 y2
 ...  ...  ...
i xi yi
 ...  ...  ...
n xn yn
y_i = f(x), i=\overline{0,n}. ( 11.1)

Точки с координатами (xi, yi) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно

N=n+1.

На графике табличная функция представляется в виде совокупности узловых точек (рис. 11.1).


Рис. 11.1.

Длина участка [x0, xn] равна (xn - x0).

В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования.

Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) состоит в том, чтобы найти значения yk табличной функции в любой промежуточной точке хк, расположенной внутри интервала [x0, xn], т.е.

x_1 < x_k < x_{i+1}

и

x_k \in[x_0, x_n].

Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) состоит в том, чтобы найти значения yl табличной функции в точке хl, которая не входит в интервал [x0, xn], т.е.

x_l < x_0; x_l > x_n.

Такую задачу часто называют задачей прогноза.

Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения некоторой вспомогательной функции F(x), которая приближала бы заданную табличную функцию, т.е. в узловых точках принимала бы значение табличных функций

F(x_i) = y_i, i=0,1,2, \ldots,n.

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем искать из класса алгебраических многочленов:

P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \ldots + a_{n-1}x^1 + a_nx^0. ( 11.2)

Этот многочлен должен пройти через все узловые точки, т.е.

P_n(x_i) =y_i. ( 11.3)

Поэтому степень многочлена n зависит от количества узловых точек N и равна количеству узловых точек минус один, т.е. n=N-1.

Многочлен вида (11.2), который проходит через все узловые точки табличной функции называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Таким образом, для решения задачи интерполирования прежде всего необходимо решить задачу, которую можно сформулировать следующим образом:

для функции F(x_i) = y_i, i=0,1,2, \ldots,n, заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы:

P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \ldots + a_{n-1}x^1 + a_nx^0 + a_n,

где

n -степень многочлена, равная количеству узловых точек N минус один,т.е. n=N-1.

В результате, в любой другой промежуточной точке хk, расположенной внутри отрезка [x0,xn] выполняется приближенное равенство Pn(xk) = f(xk) = yk. (рис.11.2)


Рис. 11.2.
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Ксения Иноземцева
Ксения Иноземцева
Россия
Елизавета Счастнова
Елизавета Счастнова
Россия, ХАБАРОВСК, ТОГУ