Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4631 / 1256 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Аннотация: В лекции рассмотрены случайные величины и события, методы их генерации и область их применения.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначим: X, Y, Z – случайные величины

xi, yi, zi – возможные значения случайных величин.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения x_i, i=\overline{1,n} или i=\overline{1, \infty} с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно

x_i, i=\overline{1, \infty}

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).

Табличное задание закона распределения:

X        x_1     x_2  \ldots   x_n \to возможные значения случайной величины;

P        p_1   p_2 \ldots p_n \to вероятности появления случайной величины.

Аналитическое задание закона распределения:

Биномиальное распределение, определяемое распределением Бернулли

P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}

k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий

q = 1-pвероятность не появления событий.

Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:

P_n(k)=\frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!},

где:

\lambda - интенсивность потока событий.

Графическое задание закона распределения представлено на рис.6.1.


Рис. 6.1.

Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.

Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральная функция распределения (ИФР)– это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.

F(x)=P(X<x).

Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.

Свойства интегральной функции распределения:

  1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: 0 \le F(x) \le 1..
  2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале
    P(a \le  X \le b)=F(b) – F(a).
  3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

    F(x)=0, если x \le a,

    F(x)=1, если x \ge b.

График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 6.2

График ИФР непрерывной случайной величины

Рис. 6.2. График ИФР непрерывной случайной величины

График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 6.3

График ИФР дискретной случайной величины

Рис. 6.3. График ИФР дискретной случайной величины

Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.

Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.

f(x) = F'(x)

Интегральная функция распределения является первообразной для дифференциальной функции распределения. Тогда

F(x) = \int\limits_\infty^x f(x)dx = P(-\infty < X < x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

P(a \le X  \le b) = \int\limits_a^b f(x)dx.

Геометрический смысл ДФР состоит в следующем: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (рис. 6.4).


Рис. 6.4.

График дифференциальной функции распределения принято называть кривой распределения.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Ксения Иноземцева
Ксения Иноземцева
Россия
Елизавета Счастнова
Елизавета Счастнова
Россия, ХАБАРОВСК, ТОГУ