Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4558 / 1239 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Численные методы решения нелинейных уравнений

< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >

Метод Ньютона (метод касательных)

Рассмотренные ранее методы решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение:

f(x)=0

Найти корень на интервале [a,b] с точностью \varepsilon.

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции. Пересечение касательной с осью Х дает приближение корня (Рис. 4.8).

Выберем начальную точку x0=b (конец интервала изоляции). Находим значение функции в этой точке и проводим к ней касательную, пересечение которой с осью Х дает нам первое приближение корня x1.


Рис. 4.8.
x1 = x0 – h0,

где

h_0= \frac{f(x_0)}{\tg(\alpha)}= \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.

Поэтому

x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} ( 4.6)

Процесс поиска продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие:

\lvert x_{n+1}-x_n \rvert \le \varepsilon ( 4.7)

Упростим условие (4.7), исходя из (4.6). Получим:

\lvert \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\rvert \le\varepsilon. ( 4.8)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется условие:

f(x_0)\cdot f''(x_0) > 0, ( 4.9)

т.е. первую касательную рекомендуется проводить в той точке интервала [a,b], где знаки функции f(x0) и ее кривизны f"(x0) совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня метод Ньютона приведена на рис. 4.9

Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона

Рис. 4.9. Схема алгоритма уточнения корня методом Ньютона

Модифицированный метод Ньютона (метод секущих)

В этом методе для вычисления производных на каждом шаге поиска используется численное дифференцирование по формуле:

f'(x)= \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}

Тогда рекуррентная формула (4.6) будет иметь вид:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac {f(x_n) \Delta x}{\Delta f(x_n)}=\\
=x_n-\frac {f(x_n) \Delta x}{f(x_n+ \Delta x)-f(x_n)}, ( 4.10)

где \Delta x \approx \varepsilon

Метод хорд

Метод основан на замене функции f(x) на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью Х дает приближение корня.

При этом в процессе поиска семейство хорд может строиться:

а) при фиксированном левом конце хорд, т.е. z=a, тогда начальная точка х0=b (рис. 4.10а);

б) при фиксированном правом конце хорд, т.е. z=b, тогда начальная точка х0=a (рис. 4.10б);


Рис. 4.10.

В результате итерационный процесс схождения к корню реализуется рекуррентной формулой:

для случая а)

x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f(x_n)-f(a)} (x_n - a); ( 4.11)

для случая б)

x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f(x_n)-f(b)} (x_n - b); ( 4.12)

Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

\lvert x_{n+1}–x_n\rvert \le \varepsilon \text{ или } \lvert h\rvert \le \varepsilon. ( 4.13)

Метод обеспечивает быструю сходимость, если f(z)f"(z) > 0, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала [a,b], где знаки функции f(z) и ее кривизны f"(z) совпадают.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд представлена на рис. 4.11.

Схема алгоритма уточнения корня методом хорд

увеличить изображение
Рис. 4.11. Схема алгоритма уточнения корня методом хорд
< Лекция 3 || Лекция 4: 123 || Лекция 5 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск