Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 16.09.2005 | Доступ: свободный | Студентов: 14174 / 770 | Оценка: 4.26 / 4.03 | Длительность: 15:06:00
ISBN: 978-5-9556-0039-0
Специальности: Программист
Лекция 12:

Ссылочные реализации структур данных. Списки и деревья. Реализации множества: с помощью бинарного поиска, на базе сбалансированных деревьев, хеширование

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234

Реализации множества на базе деревьев

Реализация множества с помощью бинарного поиска во всех отношениях лучше нативной реализации. Вместе с тем, она все же имеет недостатки: 1) при добавлении и удалении элементов в середине массива приходится переписывать элементы в конце массива на новое место, чтобы освободить место для добавляемого элемента либо закрыть образовавшуюся лакуну при удалении элемента; 2) поиск выполняется гарантированно быстро, но все-таки не мгновенно. От первого из этих недостатков можно избавиться, применяя вместо непрерывной реализации на базе массива ссылочную реализацию, при которой элементы множества содержатся в вершинах бинарного дерева. Элементы в вершинах упорядочены таким образом, что, если зафиксировать некоторую вершину V и рассмотреть два поддерева, соответствующих левому и правому сыновьям вершины, то все элементы в вершинах левого поддерева должны быть меньше, чем элемент в вершине V, а все элементы в вершинах правого поддерева должны быть больше него.


Для такого дерева можно также применять алгоритм бинарного поиска. Максимальное число сравнений при поиске в таком дереве равняется его высоте ( т.е. максимальной длине пути от корня к терминальной вершине).

Чтобы поиск выполнялся быстро, дерево должно быть сбалансированным, т.е. все его ветви должны иметь почти одинаковую длину.

Точное определение сбалансированности следующее: будем считать, что у каждой вершины, включая терминальные, ровно два сына, при необходимости добавляя внешние, или нулевые, вершины. Например, у терминальной вершины оба сына нулевые. (Это в точности соответствует представлению дерева в языке Си, где каждая вершина хранит два указателя на сыновей; если сына нет, то соответствующий указатель нулевой.) Обычные вершины дерева будем называть собственными. Рассмотрим путь от корня дерева к внешней (нулевой) вершине. Длиной пути считается количество собственных вершин в нем. Дерево называется сбалансированным, если длины всех возможных путей от корня дерева к внешним вершинам различаются не более чем на единицу. Иногда в литературе такие деревья называют почти сбалансированными, понимая под сбалансированностью строгое равенство длин всех путей от корня к внешним узлам; мы, однако, будем придерживаться нестрогого определения. Пример сбалансированного дерева представлен на рисунке.


Высота сбалансированного дерева h оценивается логарифмически в зависимости от числа вершин n:

h <= log2n + 1

Поскольку максимальное число сравнений при поиске элемента в упорядоченном бинарном дереве равняется высоте дерева, поиск в сбалансированном дереве осуществляется исключительно быстро, за время, логарифмически зависящее от числа элементов множества. (Можно доказать, что это является теоретической оценкой снизу: никакой алгоритм не может в общем случае находить элемент быстрее, чем за log2n операций.)

Для эффективной реализации множества на базе дерева процедуры добавления и удаления элементов должны сохранять свойство сбалансированности (или почти сбалансированности). Рассмотрим коротко две наиболее популярные схемы реализации.

AVL-деревья

Так называемые AVL-деревья (названные в честь их двух изобретателей Г.М. Адельсона-Вельского и Е.М. Ландиса) хранят дополнительно в каждой вершине разность между высотами левого и правого поддеревьев, которая в сбалансированном дереве может принимать только три значения: -1, 0, 1. Строго говоря, AVL-деревья не являются сбалансированными в смысле приведенного выше определения. Требуется только, чтобы для любой вершины AVL-дерева разность высот ее левого и правого поддеревьев была по абсолютной величине не больше единицы. При этом длины путей от корня к внешним вершинам могут различаться больше, чем на единицу. Можно, тем не менее, доказать, что и в случае AVL-деревьев их высота оценивается сверху логарифмически в зависимости от числа вершин:

h <= C log2 n

где константа C = 1.5. Обычно константы не очень важны в практическом программировании — принципиально лишь, по какому закону увеличивается время работы алгоритма при увеличении n. В данном случае зависимость логарифмическая, т.е. наилучшая из всех возможных (поскольку поиск невозможен быстрее чем за log2 n операций).

Новый элемент всегда добавляется в дерево в соответствии с упорядоченностью как левый или правый сын некоторой вершины, у которой данного сына до этого не было (или, как мы считаем, сын являлся внешним). Новая вершина добавляется как терминальная. После этого выполняется процедура восстановления балансировки. В ней используются следующие элементарные преобразования дерева, сохраняющие упорядоченность вершин:

  1. вращение вершины x поддерева влево:

    Здесь вершина x поддерева, которая является его корнем, опускается вниз и влево. Бывший правый сын d вершины x становится новым корнем поддерева, а x становится левым сыном d. (Вершины x и d, начальник и подчиненный, как бы меняются ролями: бывший начальник становится подчиненным.) Поддерево c, которое было левым сыном вершины d, переходит в подчинение от вершины d к вершине x и становится ее правым сыном. Отметим, что упорядоченность вершин сохраняется: a < b < c< d < e. Таким образом, для выполнения преобразования надо лишь заменить фиксированное количество указателей в вершинах x, d, c и, возможно, в родительской для x вершине;

  2. вращение вершины x поддерева вправо:

    Здесь вершина x опускается вниз и вправо, ее бывший левый сын b становится новым корнем поддерева, а x — его правым сыном. Поддерево c переходит в подчинение от b к x.

Операции вращения носят локальный характер и позволяют при необходимости исправить баланс поддерева с корнем x. Например, для восстановления баланса дерева, показанного на следующем рисунке, достаточно выполнить одно вращение вершины b влево:


В случае AVL-деревьев операции вращения повторяются в цикле при восстановлении баланса после добавления или удаления элемента, число вращений не превышает С x h, где h — высота дерева, C — константа. Таким образом, как поиск элемента, так и его добавление или удаление выполняется за логарифмическое время: t <= C x log2n.

Красно-черные деревья

Исторически AVL-деревья, изобретенные в 1962 г., были одной из первых схем реализации почти сбалансированных деревьев. В настоящее время, однако, более популярна другая схема: красно-черные деревья, или RB-деревья, от англ. Red-Black Trees. Красно-черные деревья были введены Р. Байером в 1972 г. В стандартной библиотеке классов языка C++ исполнители множество и нагруженное множество — классы set и map — реализованы именно как красно-черные деревья.

Вместо баланс-фактора, применяемого в AVL-деревьях, RB-деревья используют цвета вершин. Каждая вершина окрашена либо в красный, либо в черный цвет. (В реализации за цвет отвечает логическая переменная.) При этом выполняется несколько дополнительных условий:

  1. каждая внешняя (или нулевая) вершина считается черной;
  2. корневая вершина дерева черная;
  3. у красной вершины дети черные;
  4. всякий путь от корня дерева к произвольной внешней вершине имеет одно и то же количество черных вершин.

Последний пункт определения означает сбалансированность дерева по черным вершинам.

Ниже приведен пример красно-черного дерева. Черные вершины изображены темно-серым цветом, красные — белым.


Из пункта 3) определения следует, что в произвольном пути от корня к терминальной вершине не может быть двух красных вершин подряд. Это означает, что, поскольку число черных вершин в любом пути одинаково, длины разных путей к терминальным вершинам отличаются не более чем вдвое. Это свойство близко по своей сути к сбалансированности. Несложно показать, что для красно-черного дерева справедлива следующая оценка сверху на высоту дерева в зависимости от числа вершин:

h <= 2 log2 (n+1)

Из этого следует, что поиск в красно-черном дереве также выполняется за логарифмическое время.

Новая вершина добавляется в красно-черное дерево как терминальная после процедуры поиска (этим RB-дерево ничем не отличается от других упорядоченных деревьев). Новая вершина окрашивается в красный цвет. При этом пункт 3) в определении красно-черного дерева может нарушиться. Поэтому после добавления, а также удаления вершины выполняется процедура восстановления структуры красно-черного дерева, играющая ту же роль, что и восстановление балансировки AVL-дерева. Преимущество красно-черных деревьев состоит в том, что процедура восстановления более простая. Во многих случаях она ограничивается перекрашиванием вершин. В ней также могут выполняться операции вращения вершины влево и вправо, но число вращений может быть не больше двух при добавлении элемента и не больше четырех при удалении. Всего число операций при восстановлении структуры RB-дерева оценивается сверху через высоту дерева:

число операций <= K x h

где hвысота дерева, K — константа. Поскольку для высоты RB-дерева справедлива приведенная выше логарифмическая оценка от числа вершин n, получаем оценку

число операций <= C log2 n

где C - константа. Таким образом, добавление и удаление элементов выполняется в случае красно-черных деревьев за логарифмическое время в зависимости от числа вершин дерева.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234
Натела Кузнецова
Натела Кузнецова

Уважаемые сообучающиеся, скиньте, пожалуйста,ссылку на корректные фалы для установки Traffic. Заранее благодарна

Дарья Федотова
Дарья Федотова
Светлана Нехай
Светлана Нехай
Россия, г. Норильск
Иван Севастьянов
Иван Севастьянов
Россия