Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 14:

Ультрафильтры и компактность

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678

Нестандартный анализ

Один из создателей теории моделей, А.Робинсон, заметил, что с ее помощью можно придать точный смысл понятиям "бесконечно малых" и "бесконечно больших" величин, с которыми оперировали еще Ньютон и Лейбниц и которые затем были изгнаны и заменены рассуждениями с эпсилонами и дельтами.

Это направление получило название нестандартного анализа. Целей тут две: во-первых, упростить доказательства известных теорем, во-вторых, использовать методы нестандартного анализа для получения новых результатов. Насколько эти цели достигнуты за тридцать с лишним лет, прошедших с возникновения нестандартного анализа?

Простота доказательств — дело вкуса. Конечно, всякий преподаватель курса математического анализа мечтает избавиться от утомительных рассуждений с выбором достаточно малых эпсилонов. Но если вместо этого нужно постоянно переходить от модели к ее элементарному расширению и обратно, лекарство может оказаться страшнее болезни. Во всяком случае, " нестандартные" учебники математического анализа для нематематиков (один из них написан Кейслером [34]) большого распространения не получили.

Новые результаты действительно были получены; отметим, что многие из них (хотя и не все) впоследствии были передоказаны "стандартными" методами, так что и здесь революции не произошло.

Так или иначе, нестандартный анализ — интересное приложение теории моделей, и мы разберем несколько простых примеров. Более подробно об этом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] и Успенского [27], а также в последней главе книги Робинсона [22].

Идея нестандартного анализа проста. Среди действительных чисел, увы, нет бесконечно малых (которые были бы меньше 1/n при всех n=1,2,3,\dots ) — как говорят, поле вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда. (Оригинальная формулировка этой аксиомы: каковы бы ни были два отрезка, можно отложить меньший из них столько раз, чтобы превзойти больший.) Но можно рассмотреть элементарное расширение поля \mathbb{R}, в котором такие бесконечно малые элементы есть, и использовать их для определения пределов, производных и прочего в исходном поле.

Перейдем к формальным определениям. Мы будет рассматривать вещественную прямую как модель очень богатой сигнатуры. Для каждого отношения на \mathbb R (c произвольным числом аргументов) введем свой предикатный символ. Получится 2^{\mathfrak{c}} предикатных символов. Кроме того, для каждой функции из \mathbb{R}^n в \mathbb{R} (при всех n=0,1,2,\dots ) введем свой функциональный символ. Это даст еще 2^{\mathfrak{c}} символов.

Пусть *\mathbb R — любая нормальная интерпретация этой сигнатуры, элементарно эквивалентная \mathbb R. Ее можно считать полем, расширяющим поле \mathbb R. В самом деле, среди функциональных символов есть двуместные символы для сложения и умножения. Они задают некоторые операции в *\mathbb R и относительно этих операций множество *\mathbb R будет полем, так как аксиомы поля можно записать в виде формул (эти формулы истинны в \mathbb R, а потому и в *\mathbb{R} ). Аналогичное рассуждение с предикатом "меньше" показывает, что *\mathbb{R} является упорядоченным полем.

Это поле можно считать расширением поля \mathbb R. В самом деле, для каждого действительного числа x в сигнатуре имеется константа. Значения таких констант образуют подполе в *\mathbb R, изоморфное \mathbb R. В самом деле, утверждения вида a\hm\ne
b, a+b\hm=c и ab\hm=c являются формулами, и переносятся из \mathbb R в *\mathbb R. Аналогичным образом это вложение сохраняет порядок.

Если поле *\mathbb R исчерпывается значениями констант из \mathbb R,то ничего интересного не получается. Поэтому мы будем предполагать, что это не так. Возможность построить *\mathbb R, не совпадающее с \mathbb R, следует (например) из теоремы Левенгейма- Сколема о повышении мощности. Другой способ: добавим в сигнатуру новую константу c и рассмотрим теорию

\text{Th}(\mathbb R)+\{c>\bar a\mid a\in\mathbb R\},
где \text{Th}(\mathbb R) — множество всех истинных в \mathbb R формул нашей сигнатуры, а \bar a — константа для числа a. Совместность этой теории следует из теоремы компактности. Любая ее модель годится в качестве *\mathbb R, поскольку значение константы c больше всех элементов из \mathbb R.

164. Проведите это рассуждение подробно.

В дальнейшем мы предполагаем, что выбрана и зафиксирована некоторая интерпретация *\mathbb{R}, являющаяся элементарным расширением \mathbb R и не совпадающая с \mathbb R. Ее элементы мы называем гипердействительными числами. Среди них есть и действительные числа, которые мы будем называть также стандартными элементами *\mathbb R. Остальные элементы *\mathbb R будут нестандартными гипердействительными числами. (По нашему предположению таковые существуют.)

Утверждение об элементарной эквивалентности *\mathbb R и \mathbb R называют принципом переноса: он позволяет перенести истинность формулы из \mathbb R в *\mathbb R (или наоборот).

Возможность переноса не ограничивается алгебраическими свойствами. Например, в нашей сигнатуре есть функция \sin. В интерпретации *\mathbb R ей соответствует функция, которую можно было бы назвать "гипердействительным синусом". Эта функция продолжает обычный синус (для стандартных аргументов), поскольку утверждения вида \sin a = b для конкретных стандартных a и b можно перенести в *\mathbb R. Более того, она обладает обычными свойствами синуса: скажем, гипердействительный синус любого гипердействительного числа не превосходит единицы (в смысле порядка на *\mathbb R ), поскольку формула \forall x\,{\sin
x \le 1} выдерживает перенос. Аналогично можно поступать и с предикатами: например, предикат "быть натуральным числом" задает в *\mathbb R некоторое подмножество, элементы которого естественно назвать гипернатуральными числами. Гипернатуральные числа делятся на стандартные (соответствующие обычным натуральным числам в \mathbb R ) и нестандартные. (Мы увидим, что нестандартные числа обязательно найдутся.) Множество гипернатуральных чисел обозначается \mathbb {\mathbb N}.

Аналогично определяется множество *{\mathbb Z} гиперцелых чисел и вообще множество *{M} для любого множества M действительных чисел. (Множеству M соответствует одноместный предикатный символ; *{M}интерпретация этого символа в *\mathbb R.) Множество *{M} называют нестандартным расширением M. В нем содержатся те же стандартные числа, что и в M (формулы вида a\hm\in M для стандартных чисел a переносятся), и, возможно, некоторые нестандартные числа.

Принцип переноса гарантирует, что для конечного M нестандартных элементов в *{M} не появится. В самом деле, пусть, скажем, в M ровно три элемента a, b и c. Тогда формула

\forall x\,(M(x) \leftrightarrow ((x=a)\lor(x=b)\lor(x=c))),
в которой M(x)предикат, соответствующий множеству M, истинна в \mathbb R. По принципу переноса она истинна и в *\mathbb R, так что и *{M} состоит из трех элементов, являющихся значениями констант a, b и c (отождествленных со стандартными действительными числами).

Впоследствии мы увидим, что бесконечное множество M обязательно приобретет новые нестандартные элементы при переходе к *\mathbb R.

Несколько простых следствий принципа переноса:

  • M\subset N\Leftrightarrow *{M}\subset*{N} (применяем принцип переноса к формуле \forall x\,(M(x)\hm\to
N(x)) );
  • *{(M\cup N)}=*{M}\cup *{N}, (применяем принцип переноса к формуле \forall x((M(x)\lor N(x))\leftrightarrow K(x)), где K — объединение M и N );
  • аналогичные утверждения верны и для пересечения и разности множеств.
< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678