Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 13:

Диаграммы

Диаграммы и расширения

В разделе "Повышение мощности" мы видели, что элементарные расширения интерпретации A суть модели теории \Th_A(A). А что можно сказать о расширениях (без требования элементарности)? Оказывается, что ситуация тут аналогична, только теория будет бескванторной.

Пусть дана нормальная интерпретация A сигнатуры \sigma (включающей равенство). Как и в прошлом разделе, рассмотрим сигнатуру \sigma_A, которая получается добавлением к \sigma констант для всех элементов интерпретации A. Рассмотрим теперь все бескванторные формулы сигнатуры \sigma_A, истинные в A. Это множество называется диаграммой интерпретации A и обозначается D(A).

Всякое расширение B\supset A (в котором A является подструктурой) является моделью теории D(A). В самом деле, истинность бескванторных формул из D(A) никак не зависит от присутствия или отсутствия дополнительных элементов, раз операции на элементах из A те же самые). Обратно, любую модель B теории D(A) можно считать расширением интерпретации A, если отождествить a\in A со значением соответствующей константы в B. (Как и раньше, различные элементы A не склеиваются — формула a_1\ne a_2 является бескванторной.)

Теперь мы готовы дать ответ на такой вопрос. Пусть есть нормальная интерпретация A сигнатуры \sigma и некоторая теория T (с равенством) этой сигнатуры. В каком случае существует расширение B интерпретации A, являющееся нормальной моделью теории T?

Теорема 70. Нормальная интерпретация A сигнатуры \sigma может быть расширена до нормальной модели теории T (с равенством) тогда и только тогда, когда все \Pi_1 -формулы сигнатуры \sigma, выводимые из T, истинны в A.

Если \Pi_1 -формула истинна в некоторой структуре, то она истинна и в подструктуре (область, по которой пробегают переменные в кванторах всеобщности, только уменьшается). Если некоторое расширение B интерпретации A является моделью теории T, то все \Pi_1 -формулы, выводимые из T, истинны в B, а потому и в A.

Осталось доказать обратное: если в A истинны все \Pi_1 -следствия формул из T, то существует искомое расширение. Согласно сказанному выше, достаточно доказать, что теория D(A) \hm\cup T непротиворечива. Если это не так, то из T выводится некоторая бескванторная формула \varphi(a_1,\dots,a_n), ложная в A. Но в формулы теории T константы a_1,\dots,a_n не входят, поэтому их можно заменить на свежие переменные x_1,\dots,x_n и вывести формулу \varphi(x_1,\dots,x_n) и затем \forall x_1\forall
x_2\ldots\forall x_n\, \varphi(x_1,\dots,x_n) Таким образом, мы нашли \Pi_1 -теорему теории T, которая ложна в A (поскольку формула \varphi(a_1,\dots,a_n) ложна), вопреки нашему

Рассмотрим пример из алгебры. Пусть F — множество с заданной на нем операцией. В каком случае его можно вложить в коммутативную группу? Согласно теореме 70, для этого необходимо и достаточно, чтобы в F выполнялись все \Pi_1 - следствия аксиом коммутативной группы (записанных в сигнатуре с единственной операцией умножения). Некоторые из этих аксиом сами являются \Pi_1 -формулами. Таковы, например, свойства коммутативности и ассоциативности. Другие аксиомы (существование единицы и обратного) не лежат в \Pi_1 (например, аксиома о существовании единицы имеет вид \exists e \forall x\dots ). Поэтому они не обязаны выполняться в F. Но их \Pi_1 - следствия, например, правило сокращения

\forall x\forall y\forall z\, ({(xy=xz)}\hm\to{(y=z)}),
должны выполняться. В данном случае оказывается, что этих трех утверждений достаточно: всякая коммутативная полугруппа с сокращением может быть вложена в коммутативную группу.

147. Докажите это утверждение. (Указание. Элементами группы можно считать классы формальных выражений вида x-y, как это делается, когда от натуральных чисел переходят к целым. В общей ситуации эту группу называют группой Гротендика.)

Вот еще один хорошо известный пример из алгебры. В каком случае коммутативное кольцо K может быть вложено в поле? Теорема 70 требует, чтобы в K выполнялись все \Pi_1 -теоремы теории полей. Оказывается, что достаточно выполнения единственного \Pi_1 -свойства: отсутствия делителей нуля:

\forall x \forall y \, ((xy=0)\to ((x=0)\lor (y=0))).
В этом случае кольцо может быть вложено в поле.

148. Докажите это утверждение. (Указание. Это поле называют полем частных; его элементами являются формальные дроби вида m/n при естественных определениях равенства и операций.)

Не всегда, однако, можно указать простые критерии вложимости. Мы не зря требовали коммутативности: известный советский алгебраист и логик А.И.Мальцев доказал, что не всякое некоммутативное кольцо без делителей нуля вкладывается в тело и что никакое конечное число \Pi_1 -формул не дают критерия вложимости полугруппы в группу (подробнее см. в книге Куроша [14],глава II, параграф 5).

Мы знаем теперь, когда данную интерпретацию можно расширить до модели данной теории. Это позволяет легко ответить и на такой вопрос: когда существует модель данной теории и ее расширение, являющееся моделью другой теории.