Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 10:

Полнота исчисления предикатов

Анализ доказательства позволяет сделать такое наблюдение:

Теорема 47. Непротиворечивое множество замкнутых формул конечной или счетной сигнатуры имеет счетную модель.

В самом деле, элементами построенной нами модели являются замкнутые термы, образованные из добавленных констант и функциональных символов сигнатуры. На каждом шаге добавляется счетное множество констант, поэтому всех констант счетное число, значит, и термов счетное число.

Аналогичное рассуждение с использованием свойств операций с мощностями (о которых можно прочесть в [6]) устанавливает такой факт:

Теорема 48. Всякое непротиворечивое множество формул сигнатуры \sigma имеет модель мощности \max(\aleph_0,|\sigma|) (где \aleph_0 обозначает счетную мощность, а |\sigma|мощность сигнатуры).

Кстати, при доказательстве теорем 47 и 48 можно было бы сослаться на теорему Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели (построить модель произвольной мощности, а потом уменьшить, если надо).

Возвратимся теперь к исходной формулировке теоремы о полноте.

Теорема 49 (полнота исчисления предикатов, слабая форма) Всякая общезначимая формула выводима в исчислении предикатов.

Пусть формула \varphi замкнута. Если она невыводима, то множество \{\lnot \varphi\} непротиворечиво и потому совместно. В его модели формула \varphi будет ложной, что противоречит предположению.

Что касается незамкнутых формул, то их общезначимость и выводимость равносильна общезначимости и выводимости их замыкания.

Как и в разделе "Второе доказательство теоремы о полноте", из теоремы о полноте можно вывести такое следствие:

Теорема 50. (компактность для исчисления предикатов). Пусть \Gamma — множество замкнутых формул некоторой сигнатуры, и любое его конечное подмножество имеет модель. Тогда и само множество \Gamma имеет модель.

В самом деле, по теореме о полноте (и корректности, если быть точным) наличие модели (совместность) равносильно непротиворечивости. А по определению противоречивость затрагивает лишь конечное число формул из \Gamma.

101. Покажите, что теорема о полноте в сильной форме является следствием теоремы компактности и теоремы о полноте в слабой форме. (Указание: если множество \Gamma не имеет модели, то его конечная часть не имеет модели, поэтому формула \langle\dots\rangle общезначима, поэтому \dots )

Прямое доказательство теоремы компактности (без использования понятия выводимости) мы дадим в следующей лекции.

Еще один важный результат, вытекающий из теоремы о полноте — совпадение синтаксического понятия выводимости и семантического понятия следования. Пусть дана некоторая сигнатура \sigma. Рассмотрим множество \Gamma замкнутых формул этой сигнатуры (такие множества мы называем теориями в сигнатуре \sigma ) и еще одну замкнутую формулу \varphi. Говорят, что \varphi семантически следует из \Gamma, если \varphi истинна во всякой модели теории \Gamma, то есть во всякой интерпретации сигнатуры \sigma, где истинны все формулы из \Gamma. (Обозначение: \Gamma\vDash\varphi.)

Теорема 51.

\Gamma\vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma\vDash \varphi.

Если \Gamma\vdash\varphi, то \Gamma\vDash\varphi.

Напротив, пусть \varphi не выводима из \Gamma. Тогда теория \Gamma\hm\cup\{\lnot\varphi\} непротиворечива и (в силу теоремы о полноте) имеет модель. Значит \varphi не следует из \Gamma.

102. Какими нужно взять \varphi и \Gamma в этой теореме, чтобы получить приведенные ранее формулировки теоремы о полноте? (Ответ: при \varphi\hm=\perp (тождественно ложная формула) получаем сильную форму теоремы о полноте, при \Gamma\hm=\varnothing — слабую.)