Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 10:

Полнота исчисления предикатов

Переменные и константы

Отметим еще несколько простых свойств выводимости, которые нам потребуются:

Лемма о свежих константах. Пусть выводима формула \varphi(c/\xi), где \varphi — произвольная формула, \xi — переменная, c — константа, не входящая в формулу \varphi. Тогда выводима и формула \varphi.

Интуитивный смысл леммы: если мы доказали что-то про "свежую" константу c (не запятнавшую себя участием в формуле \varphi ), то фактически мы доказали формулу \varphi для произвольных значений переменной.

Доказательство леммы. По условию существует вывод формулы \varphi(c/\xi). Возьмем "свежую" переменную \eta, не встречающуюся в этом выводе, и всюду заменим в нем константу c на эту переменную. При этом вывод останется выводом, так как правила обращения с переменными и константами ничем не отличаются (кванторов по новой переменной в нем нет, так что корректные подстановки останутся корректными и применения правил Бернайса останутся допустимыми). Таким образом, выводима формула \varphi(\eta/\xi).

По правилу обобщения выводима формула \forall\eta\,\varphi(\eta/\xi). Осталось применить аксиому \forall\eta\,\varphi(\eta/\xi)\hm\to
\varphi(\eta/\xi)(\xi/\eta) ; подстановка в правой части корректна и дает формулу \varphi, так как сначала мы заменили свободные вхождения \xi на \eta, а затем обратно (так что в зону действия кванторов по \xi они попасть не могли). Лемма доказана.

97. Сформулируйте и докажите аналогичную лемму для нескольких констант.

Аналогичное рассуждение позволяет доказать и другое утверждение, которое нам потребуется:

Лемма о добавлении констант. Пусть формула \varphi некоторой сигнатуры \sigma выводима в исчислении предикатов расширенной сигнатуры \sigma', полученной из \sigma добавлением новых констант. Тогда \varphi выводима и в исчислении предикатов сигнатуры \sigma.

Доказательство. Пусть формула \varphi, не содержащая новых констант, имеет вывод, в котором новые константы встречаются. Как их оттуда удалить? Легко понять, что их можно заменить на свежие переменные, не входящие в вывод, и он останется выводом, но уже без новых констант. Лемма доказана.

На самом деле эта лемма верна для произвольного расширения сигнатуры (можно добавлять не только константы, но и функциональные символы любой валентности, а также предикатные символы). Чтобы удалить новые символы из вывода, поступаем так. Все термы вида f(\ldots), где f — добавленный функциональный символ, мы заменяем на новую переменную (можно взять одну и ту же переменную для всех новых символов и всех их вхождений). Все атомарные формулы с новыми предикатными символами заменяем на какую-либо замкнутую формулу (одну и ту же; какая именно формула, роли не играет).

98. Проведите это рассуждение подробно.

Таким образом, мы можем говорить о выводимости формулы, не уточняя, в какой именно сигнатуре (содержащей все использованные в формуле предикатные и функциональные символы) мы ищем ее вывод.

Если принять теорему о полноте, по которой выводимость равносильна общезначимости, независимость выводимости от сигнатуры становится очевидной: истинность формулы не зависит от интерпретации символов, которые в нее не входят. (Если интерпретировать отсутствующие в формуле символы как постоянные функции и предикаты, мы приходим к синтаксическому рассуждению, упомянутому выше.)