Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 690 / 29 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 10:

Полнота исчисления предикатов

Аннотация: Рассматриваются вопросы непротиворечивости теории, совместных множеств замкнутых формул, а также полноты непротиворечивых теории

Выводы в исчислении предикатов

Примеры выводимых формул

Прежде чем доказывать теорему Геделя о полноте исчисления предикатов, мы должны приобрести некоторый опыт построения выводов в этом исчислении.

  • Прежде всего отметим, что возможность сослаться на теорему о полноте исчисления высказываний и считать выводимым любой частный случай пропозициональной тавтологии сильно облегчает жизнь. Например, пусть мы вывели две формулы \varphi и \psi и хотим теперь вывести формулу (\varphi\land\psi). Это просто: заметим, что формула (\varphi\to(\psi\to(\varphi\land\psi))) является частным случаем пропозициональной тавтологии (а на самом деле и аксиомой) и дважды применяем правило MP.
  • Другой пример такого же рода: если формула \varphi\hm\to\psi выводима, то выводима и формула \lnot\psi\to\lnot\varphi, поскольку импликация
    (\varphi\to\psi)\to(\lnot\psi\to\lnot\varphi)
    является частным случаем пропозициональной тавтологии.
  • Еще один пример: если выводимы формулы \varphi\to\psi и \psi\to\tau, то выводима и формула \varphi\to\tau, поскольку формула
    (\varphi\to\psi) \to ((\psi\to\tau)\to(\varphi\to\tau))
    является частным случаем пропозициональной тавтологии.
  • Для произвольной формулы \varphi выведем формулу
    \forall x \, \varphi \to \exists x \, \varphi.
    В самом деле, подстановка переменной вместо себя всегда допустима, поэтому формулы \forall x\,\varphi \hm\to
\varphi и \varphi\hm\to\exists x\,\varphi являются аксиомами. Остается воспользоваться предыдущим замечанием.
  • Для произвольной формулы \varphi выведем формулу
    \exists y\, \forall x\, \varphi \to
\forall x\, \exists y\, \varphi.
    Формулы \forall x\,\varphi \to \varphi и \varphi\to\exists
y\,\varphi являются аксиомами. С их помощью выводим формулу \forall x\, \varphi\hm\to \exists
y\,\varphi. Теперь заметим, что левая часть импликации не имеет параметра x, а правая часть не имеет параметра y, так что можно применить два правила Бернайса (в любом порядке) и добавить справа квантор \forall x, а слева — квантор \exists
y.
  • Предположим, что формула \varphi\to\psi выводима, а \xi — произвольная переменная. Покажем, что в этом случае выводима формула \forall \xi\,\varphi\hm\to \forall\xi\,\psi. В самом деле, формула \forall \xi\,\varphi\hm\to\varphi является аксиомой. Далее выводим (с помощью пропозициональных тавтологий и правила MP) формулу \forall \xi\,\varphi \to\psi ; остается воспользоваться правилом Бернайса (левая часть не имеет параметра \xi ).
  • Аналогичным образом из выводимости формулы \varphi\to\psi следует выводимость формулы \exists\xi\,\varphi\hm\to\exists\xi\,\psi, только надо начать с аксиомы \psi\hm\to\exists\xi\,\psi, затем получить \varphi\hm\to\exists\xi\,\psi, а потом применить правило Бернайса.
  • Таким образом, если формулы \varphi и \psi доказуемо эквивалентны (это значит, что импликации \varphi\hm\to\psi и \psi\hm\to\varphi выводимы), то формулы \forall\xi\,\varphi и \forall\xi\,\psi также доказуемо эквивалентны. (Аналогичное утверждение верно и для формул \exists\xi\,\varphi и \exists\xi\,\psi.)

    Теперь несложно доказать и более общий факт: замена подформулы на доказуемо эквивалентную дает доказуемо эквивалентную формулу.

  • Выведем формулу \forall x\, A(x) \to \forall y\, A(y) (здесь A — одноместный предикатный символ). Это несложно: начнем с аксиомы \forall x\, A(x) \to A(y), в ней левая часть не имеет параметра y и потому по правилу Бернайса из нее получается искомая формула. Этот пример показывает, что связанные переменные можно переименовывать, не меняя смысла формулы
  • Выведем формулы, связывающие кванторы всеобщности и существования:

    \begin{align*}
\forall \xi\,\varphi &\leftrightarrow \lnot\exists\xi\,\lnot\varphi;\\
\exists \xi\,\varphi &\leftrightarrow \lnot\forall\xi\,\lnot\varphi.
\end{align*}
    Напомним, что \alpha\leftrightarrow\beta мы считаем сокращением для {(\alpha\to\beta)}\hm\land{(\beta\to\alpha)}, так что нам надо вывести четыре формулы.

    Начнем с формулы \exists\xi\,\varphi\hm\to
\lnot\forall\xi\,\lnot\varphi. Имея в виду правило Бернайса, достаточно вывести формулу \varphi\hm\to\lnot\forall\xi\,\lnot\varphi. Тавтология (B\to \lnot A)\hm\to(A\to \lnot B) позволяет вместо этого выводить формулу \forall\xi\,\lnot\varphi\hm\to\lnot\varphi, которая является аксиомой.

    В только что выведенной формуле \exists\xi\,\varphi\to\lnot\forall\xi\,\lnot\varphi можно в качестве \varphi взять любую формулу, в том числе начинающуюся с отрицания. Подставив \lnot\varphi вместо \varphi, получим

    \exists\xi\,\lnot\varphi\to\lnot\forall\xi\,\lnot\lnot\varphi,
    где \lnot\lnot\varphi доказуемо эквивалентна \varphi и потому может быть заменена на \varphi. После этого правило контрапозиции (если из A следует \lnot B, то из B следует \lnot A ) дает
    \forall \xi\,\varphi \to \lnot\exists\xi\,\lnot \varphi.

    Выведем третью формулу: \lnot\exists\xi\,\lnot\varphi\to\forall\xi\,\varphi. По правилу Бернайса достаточно вывести \lnot\exists\xi\,\lnot\varphi\to\varphi, что после контрапозиции превращается в аксиому \lnot\varphi\to\exists\xi\,\lnot\varphi.

    Четвертая формула получится, если заменить в третьей \varphi на \lnot\varphi и применить контрапозицию.

Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига