Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Игра Эренфойхта и понижение мощности

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Понижение мощности

В этом разделе мы опишем прием, позволяющей в интерпретации большой мощности выделять часть, которая будет элементарно эквивалентна исходной (и, более того, исходная будет ее элементарным расширением в смысле определения). Например, во всяком бесконечном упорядоченном множестве этот прием позволит найти счетное подмножество, элементарно эквивалентное исходному как интерпретация сигнатуры ({=},{<}).

С помощью этой конструкции (составляющей содержание теоремы Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели) легко дать обещанное другое доказательство того, что любые два плотно упорядоченных множества без первого и последнего элемента элементарно эквивалентны. В самом деле, выберем в них счетные части, элементарно эквивалентные целым множествам. Эти части будут плотными и не будут иметь первого и последнего элементов, так как эти свойства записываются формулами. Как известно (см., например, [6]), любые два счетных плотных упорядоченных множества без первого и последнего элемента изоморфны, и потому (теорема 35) элементарно эквивалентны. Следовательно, и исходные множества будут элементарно эквивалентны.

Прежде всего уточним слова "часть интерпретации". Если сигнатура состоит только из предикатных символов, то проблем нет: взяв произвольное непустое подмножество X произвольной интерпретации, мы можем ограничить предикаты на X и получить новую интерпретацию. Если в сигнатуре есть функциональные символы, мы должны еще потребовать, чтобы X было замкнуто относительно соответствующих функций (значения функций на элементах подмножества X должны лежать в X ). Возникающая при этом интерпретация с носителем X называется подструктурой исходной.

Теорема 42 (Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели). Пусть имеется конечная или счетная сигнатура \sigma и некоторая бесконечная интерпретация M этой сигнатуры. Тогда можно указать счетное подмножество подмножество M'\subset M, которое будет подструктурой M (замкнуто относительно сигнатурных функций) и для которого M будет элементарным расширением M'.

Начнем с первого требования теоремы: M' должно быть подструктурой. Само по себе его выполнить легко, как говорит следующая лемма.

Лемма 1. Пусть A\subset Mпроизвольное конечное или счетное множество. Тогда существует конечное или счетное множество B\subset M, содержащее A, которое является подструктурой (замкнуто относительно сигнатурных функций в M ).

Утверждение леммы почти очевидно: надо добавить к A результаты применения всех функций к его элементам, потом результаты применения всех функций к добавленным элементам и так счетное число раз. (Другими словами, надо добавить значения всех термов сигнатуры на оценках, при которых индивидные переменные принимают значения в A.) Ясно, что получится конечное или счетное множество, так как на каждом шаге расширения добавляется счетное множество новых элементов и шагов счетное число. (Можно заметить также, что термов счетное число.) Лемма 1 доказана.

Замкнутость подмножества A множества M относительно сигнатурных функций позволяет рассматривать интерпретацию с носителем A и с индуцированными из M функциями и предикатами. Однако она, конечно, не обязана быть элементарно эквивалентной M, как показывает множество очевидных примеров. (Если, скажем, в сигнатуре нет функций, а одни предикаты, то любое подмножество будет замкнуто.)

Поэтому нам необходимо еще одно свойство замкнутости. Пусть A — некоторое подмножество M (напомним, что мы рассматриваем интерпретацию сигнатуры \sigma с носителем M ). Множество A назовем экзистенциально замкнутым, если для всякой формулы \varphi(x,x_1,\dots,x_n) сигнатуры \sigma и для любых элементов a_1,\dots,a_n\in A выполнено такое утверждение: если существует m\in M, для которого (в M ) истинно \varphi(m,a_1,\dots,a_n), то элемент m с таким свойством можно выбрать и внутри A.

(Более формально следовало бы сказать, что для всякой формулы \varphi, параметры которой содержатся среди x,x_1,\dots,x_n, и для любых элементов a_1,\dots,a_n\hm\in A выполнено такое утверждение: если существует m\hm\in M, для которого \varphi истинна в интерпретации M на оценке (x\hm\mapsto
m,x_1\hm\mapsto a_1,\dots,x_n\hm\mapsto a_n), то существует и элемент m\hm\in A с тем же свойством.)

Обратите внимание, что в этом определении (в отличие от формулировки теоремы) не идет речь об истинности какой бы то ни было формулы в A — только об истинности в M. В нем говорится примерно вот что: если вообще (во всем M ) найдется элемент, связанный неким формульным отношением с элементами a_1,\dots,a_n\in A, то такой элемент найдется и внутри самого A.

Лемма 2. Пусть A\subset Mпроизвольное конечное или счетное множество. Тогда существует конечное или счетное множество B\subset M, содержащее A, являющееся экзистенциально замкнутым.

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству предыдущей леммы: формул \varphi счетное число и конечных наборов элементов из A тоже счетное число. Поэтому можно посмотреть, в каких случаях элемент m из определения экзистенциальной замкнутости существует, и добавить один из таких элементов (здесь используется аксиома выбора). Один раз так сделать недостаточно, так как добавленные элементы также могут использоваться в качестве a_1,\dots,a_n в определении, поэтому такую процедуру надо повторить счетное число раз и взять объединение полученных множеств. Оно уже будет экзистенциально замкнуто (любой набор получается на конечном шаге и на следующем шаге он обслуживается, если нужно). Лемма 2 доказана.

На самом деле леммы 1 и 2 можно соединить.

Лемма 3. Пусть A\subset Mпроизвольное конечное или счетное множество. Тогда существует конечное или счетное множество B\subset M, содержащее A, замкнутое относительно сигнатурных функций и экзистенциально замкнутое.

В самом деле, чтобы получить такое множество B, достаточно чередовать шаги замыкания относительно сигнатурных функций и экзистенциального замыкания, а потом взять объединение полученной последовательности множеств. Лемма 3 доказана.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >