Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 690 / 29 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 8:

Игра Эренфойхта и понижение мощности

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Аннотация: Рассматриваются критерии элементарной эквивалентности двух интерпретации одной сигнатуры в терминах игры двух игроков (двух интерпретации)

Игра Эренфойхта

Вернемся от алгебры к логике и сформулируем общий критерий элементарной эквивалентности двух интерпретаций некоторой сигнатуры. Будем считать, что наша сигнатура содержит только предикатные символы. (Это ограничение не очень существенно, так как функцию f(x_1,\dots,x_n) можно заменить предикатом f(x_1,\dots,x_n)\hm=y, имеющим на один аргумент больше.) Кроме того, будем считать, что сигнатура конечна (в некоторый момент наших рассуждений это будет существенно).

Критерий будет сформулирован в терминах некоторой игры, называемой игрой Эренфойхта. В ней участвуют два игрока, называемые Новатором ( Н ) и Консерватором ( К ). Игра определяется выбранной парой интерпретаций; как мы докажем, интерпретации элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда К имеет выигрышную стратегию в этой игре.

В начале игры Новатор объявляет натуральное число k. Далее они ходят по очереди, начиная с Н ; каждый из игроков делает k ходов, после чего определяется победитель.

На i -м ходу Н выбирает элемент в одной из интерпретаций (в любой из двух, причем выбор может зависеть от номера хода) и помечает его числом i. В ответ К выбирает некоторый элемент из другой интерпретации и также помечает его числом i. После k ходов игра заканчивается. При этом в каждой интерпретации k элементов оказываются помеченными числами от 1 до k (мы не учитываем, кто именно из игроков их пометил). Обозначим эти элементы a_1,a_2,\ldots,a_k (для первой интерпретации; элемент a_i имеет пометку i ) и b_1,b_2,\ldots,b_k (для второй). Элементы a_i и b_i (с одним и тем же i ) будем называть соответствующими друг другу. Посмотрим, найдется ли предикат сигнатуры, который различает помеченные элементы первой и второй интерпретации (то есть истинен на некотором наборе помеченных элементов в одной интерпретации, но ложен на соответствующих элементах другой). Если такой предикат найдется, то выигрывает Новатор, в противном случае — Консерватор.

Прежде чем доказывать, что эта игра дает критерий элементарной эквивалентности, рассмотрим несколько простых примеров.

  • Среди элементов a_1,\dots,a_k и b_1,\dots,b_k могут быть одинаковые. Если в нашей сигнатуре есть предикат равенства и в обеих интерпретациях он интерпретируется как совпадение элементов, то Консерватор обязан повторять ходы, если их повторил Новатор (скажем, если a_i=a_j, а b_i\ne
b_j, то Новатор выигрывает, поскольку предикат равенства истинен в одной интерпретации, но ложен на соответствующих элементах другой).
  • Если интерпретации изоморфны, то у Консерватора есть очевидный способ выиграть: изоморфизм заранее группирует все элементы в пары соответствующих. (Это согласуется с тем, что изоморфные интерпретации элементарно эквивалентны.)
  • Рассмотрим сигнатуру упорядоченных множеств (предикаты = и < ) и ее естественные интерпретации в \mathbb N и \mathbb Z. Они не являются элементарно эквивалентными, поскольку среди натуральных чисел есть наименьшее, а среди целых — нет. Покажем, что в игре Эренфойхта для данных интерпретаций выигрывает Новатор.

    Н объявляет, что игра будет проведена в два хода и на первом ходу помечает число 0 из интерпретации \mathbb N. В ответ К вынужден пометить некоторое число m из \mathbb Z. На втором ходу Н помечает в \mathbb Z некоторое число, меньшее m (например, m-1 ). Теперь К проигрывает при любом ответном ходе, поскольку пометить число, меньшее нуля, он не может.

  • Для той же сигнатуры рассмотрим интерпретации в \mathbb Z и \mathbb Q. Эти интерпретации не элементарно эквивалентны, поскольку порядок на рациональных числах плотен, а на целых — нет. Покажем, что в игре Эренфойхта снова выигрывает Новатор.

    Игра будет проходить в три хода. На первых двух ходах Н помечает числа 0 и 1 из \mathbb{Z}. К должен пометить некоторые элементы b_1 и b_2 из \mathbb Q. При этом должно быть b_1<b_2 (иначе Н заведомо выиграет). Тогда на третьем ходу Н помечает любое рациональное число, лежащее строго между b_1 и b_2. Так как между 0 и 1 нет натуральных чисел, К не может соблюсти требования игры и проигрывает при любом ходе.

  • Рассмотрим теперь упорядоченные множества \mathbb Z и \mathbb Z+\mathbb Z. Как мы видели, они элементарно эквивалентны, и потому должна существовать выигрышная стратегия для Консерватора. Как же он должен играть? Кажется разумным поддерживать одинаковые расстояния между соответствующими элементами в \mathbb Z и \mathbb Z+\mathbb Z. Проблема в том, что в \mathbb Z+\mathbb Z некоторые расстояния бесконечны (между элементами разных слагаемых). Что же делать Консерватору, если Новатор пометил два таких элемента?

    К счастью для К, он знает заранее, сколько ходов осталось до конца игры. Ясно, что если игра скоро кончится, то Н не удастся отличить бесконечное расстояние от достаточно большого. Более точно, если до конца игры остается s ходов, то К может считать все расстояния, большие или равные 2^s, бесконечно большими. В конце (при s=0 ) это означает, что все ненулевые расстояния отождествляются (что правильно, так как в конце важен лишь порядок). Таким образом, К стремится поддерживать такой "инвариант" (как сказали бы программисты): соответствующие элементы в A и в B идут в одном и том же порядке, и расстояния между соответствующими парами соседей одинаковы (при этом все бесконечно большие расстояния считаются одинаковыми). Ясно, что такая стратегия гарантирует ему выигрыш; надо лишь проверить, что поддержать инвариант можно.

    При очередном ходе Н возможны несколько случаев. Н мог разбить "конечный" (меньший 2^s, где s — число оставшихся ходов) промежуток на две части. В этом случае соответствующий промежуток в другом множестве также "конечен" и имеет ту же длину, так что К должен лишь выбрать элемент на том же расстоянии от концов. Пусть Н разбил "бесконечный" (длины 2^s или больше) промежуток на две части. Тогда хотя бы одна из частей будет иметь длину 2^{s-1} или больше, то есть на следующем шаге будет считаться "бесконечной". Если обе части "бесконечны" (с точки зрения следующего шага), то К должен разбить "бесконечный" (длины 2^s или более) промежуток другого множества на две "бесконечные" (длины 2^{s-1} или более) части; это, очевидно, возможно. Если одна часть " бесконечна", а другая "конечна", то надо отложить то же "конечное" расстояние в другом множестве. Наконец, обе части не могут быть "конечными" (если каждая меньше 2^{s-1}, то в сумме будет меньше 2^s ).

    Наконец, новый элемент мог быть больше (или меньше) всех уже отмеченных элементов интерпретации; в этом случае К должен отметить элемент другой интерпретации, находящийся на том же расстоянии от наибольшего (наименьшего) отмеченного элемента (или на "бесконечном" расстоянии, если такова была ситуация с выбранным Н элементом).

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига