Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 5:

Языки первого порядка

< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >

Определим понятие терма данной сигнатуры. Термом называется последовательность переменных, запятых, скобок и символов сигнатуры, которую можно построить по следующим правилам:

  • Индивидная переменная есть терм.
  • Функциональный символ валентности 0 есть терм.
  • Если t_1,\dots,t_k — термы, а f — функциональный символ валентности k>0, то f(t_1,\dots,t_k) есть терм.

В принципе можно было не выделять функциональные символы валентности 0 (которые также называют константами) в отдельную группу, но тогда бы после них пришлось писать скобки (как это делается в программах на языке Си).

Если Aпредикатный символ валентности k, а t_1,\dots,t_k — термы, то выражение A(t_1,\dots,t_k) считается атомарной формулой. Кроме того, любой предикатный символ валентности 0 считается атомарной формулой.

Формулы строятся по таким правилам:

  • Атомарная формула есть формула.
  • Если \varphi — формула, то \lnot\varphi — формула.
  • Если \varphi и \psi — формулы, то выражения (\varphi \land\psi), (\varphi\hm\lor\psi), (\varphi\to\psi) также являются формулами.
  • Если \varphi есть формула, а \xi — индивидная переменная, то выражения \forall \xi \,\varphi и \exists \xi\,\varphi являются формулами.

Во многих случаях в сигнатуру входит двуместный предикатный символ =, называемый равенством. По традиции вместо =(t_1,t_2) пишут (t_1=t_2).

Итак, понятие формулы в данной сигнатуре полностью определено. Иногда такие формулы называют формулами первого порядка данной сигнатуры, или формулами языка первого порядка с данной сигнатурой.

Наш следующий шаг — определение интерпретации данной сигнатуры. Пусть фиксирована некоторая сигнатура \sigma. Чтобы задать интерпретацию сигнатуры \sigma, необходимо:

  • указать некоторое непустое множество M, называемое носителем интерпретации;
  • для каждого предикатного символа сигнатуры \sigma указать предикат с соответствующим числом аргументов, определенный на множестве M (как мы уже говорили, 0 -местным предикатным символам ставится в соответствие либо И, либо Л );
  • для каждого функционального символа сигнатуры \sigma указать функцию соответствующего числа аргументов с аргументами и значениями из M (в частности, для 0 -местных функциональных символов надо указать элемент множества M, с ними сопоставляемый).

Если сигнатура включает в себя символ равенства, то среди ее интерпретаций выделяют нормальные интерпретации, в которых символ равенства интерпретируется как совпадение элементов множества M.

Приведем несколько примеров сигнатур, используемых в различных теориях.

Сигнатура теории упорядоченных множеств включает в себя два двуместных предикатных символа (равенство и порядок) и не имеет функциональных символов. Здесь также вместо \le(x,y) по традиции пишут x \le y.

Аксиомы порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность) могут быть записаны формулами этой сигнатуры. Например, требование антисимметричности записывается так:

\forall x\,\forall y (((x\le y)\land (y\le x))\to(x=y)).

Иногда в сигнатуру теории упорядоченных множеств вместо символа \le включают символ << ; большой разницы тут нет.

39. Как записать с помощью формулы свойство линейной упорядоченности? свойство не иметь наибольшего элемента? свойство плотности (отсутствия соседних элементов)? свойство фундированности (отсутствия бесконечных убывающих последовательностей — или, что эквивалентно, наличия минимального элемента в любом подмножестве)? свойство полной упорядоченности? (Указание: не для всех перечисленных свойств это возможно.)

Сигнатуру теории групп можно выбирать по-разному. Можно считать, что (помимо равенства) она имеет двуместный функциональный символ \times (который по традиции записывают между множителями), константу (нульместный функциональный символ) 1 и одноместный функциональный символ \inv(x) для обращения. Тогда аксиомы теории групп записываются с использованием лишь кванторов всеобщности:

\begin{align*}
&\forall x\,\forall y\,\forall z
(((x\times y)\times z)=(x\times(y\times z))),\\
&\forall x\, (((x\times 1)= x)\land((1\times x)=x)),\\
&\forall x\, (((x\times inv(x))= 1)\land((inv(x)\times x)=1)).
\end{align*}

Если не включать операцию обращения в сигнатуру, придется использовать квантор существования и переписать последнюю аксиому так:

\forall x\, \exists y\,((( x\times y)= 1)\land((y\times x)=1)).

40. Как записать аксиомы теории групп, если в сигнатуре нет константы 1? (Указание: аксиома о существовании обратного станет частью аксиомы о существовании единицы.)

41. Как записать в виде формулы требование коммутативности группы? утверждение о том, что любой элемент (кроме единицы) имеет порядок 11? конечность группы? (Указание: не все из перечисленного можно записать, хотя пока у нас нет средств это установить.)

Сигнатура теории множеств содержит два двуместных предикатных символа: для принадлежности и для равенства. Аксиомы теории множеств можно записывать в виде формул этой сигнатуры. Чаще всего рассматривают вариант аксиоматической теории множеств, называемый теорией Цермело-Френкеля и обозначаемый ZF. Приведем для примера одну из аксиом теории ZF, называемую аксиомой объемности, или экстенсиональности:

\begin\forall x\,\forall y\,((\forall z\,((z\in x)\to(z\in y))\land
                        \forall z\,((z\in y)\to(z\in x))) \to\\
                   {}\to(x=y)).
\end

42. Сформулировать словесно эту аксиому.

43. Записать в виде формулы аксиому регулярности, или фундирования, которая говорит, что у всякого множества есть минимальный (с точки зрения отношения \in ) элемент, то есть элемент, не пересекающийся с самим множеством.

44. Какова естественная сигнатура для теории полей? Можно ли записать в виде формулы этой сигнатуры утверждение о том, что поле имеет характеристику 2? конечную характеристику? алгебраически замкнуто?

< Лекция 4 || Лекция 5: 1234 || Лекция 6 >