Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 24.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 2236 / 705 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Математик, Физик
Лекция 4:

Решение уравнений

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

4.3. Системы линейных уравнений

Рассмотрим задачу решения системы из n линейных уравнений. Пусть нам дана система уравнений:

\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+{a_1}nx_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2\\
\ldots \\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n
\end{aligned}
\right.

Решить систему – значит найти такие числа, при подстановке которых в данную систему получим все n верных равенств. Составим матрицы системы.

  • Составляем матрицу A, состоящую из коэффициентов при переменных (размерность n x n).
  • Составляем матрицу свободных членов B (размерность ( n x 1).
  • Перепишем и исходную систему в матричном виде: AX=B.

Матричный способ

Система решается аналитически. Вектор решения можно получить из следующего выражения: X=A^{-1}B. Можно сделать проверку подстановкой корней в уравнения.

Пример 4.6

Решить систему уравнений матричным способом. Сделать проверку. \left\{
\begin{aligned}
2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24\\
2x_1+x_2+4x_3+5x_4=-5\\
x_1-6x_2-x_3+x_4=-2\\
3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8\\
\end{aligned}
\right.

Ниже представлено решение через обратную матрицу. Найден определитель, чтобы убедиться в существовании решения.

2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24

2x_1+x_2-4x_3+5x_4=-5

x_1-6x_2-x_3+x_4=-2

3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8

A:=\begin{pmatrix} 2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end{pmatrix}

B:=\begin{pmatrix} -24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix}

|A|=-220

X:=A^{-1}\cdot B

X=\begin{pmatrix} -2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end{pmatrix}

Проверка: A\cdot X=\begin{pmatrix} -24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix}

Использование функции lsolve()

В системе MathCAD введена встроенная функция lsolve (A,B), которая решает систему аналитически и возвращает вектор X для системы линейных уравнений A\cdot X=B при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В.

Пример 4.7

Решить систему примера 4.6, используя функцию lsolve()

2x_1-6x_2+4x_3+3x_4=-24

2x_1+x_2-4x_3+5x_4=-5

x_1-6x_2-x_3+x_4=-2

3x_1-3x_2-7x_3+9x_4=-8

A:=\begin{pmatrix} 2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end{pmatrix}

B:=\begin{pmatrix} -24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end{pmatrix}

X:=lsolve(A,B)

X=\begin{pmatrix} -2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end{pmatrix}

Символьное решение

Для решения применяем символьные преобразования. Преимуществом символьного решения является возможность решения уравнений в общем виде. Используем оператор Solve.

Пример 4.8

Пусть функции r (x,y) w(x,y) заданы системой уравнений. Найти r и w , решив систему.

\left\{
\begin{aligned}
xr+w=y^2\\
r+yw=x^2
\end{aligned}
\right.

Записываем систему в виде матрицы, используя логическое равенство, решается система относительно r (x,y) w(x,y) ,они тоже записываются в виде матрицы.

\begin{pmatrix} xr+w=y^2 \\ r+yw=5 \end{pmatrix} solve,\begin{pmatrix} r \\ w \end{pmatrix} \to {(\frac{y^3-5}{xy-1} \frac{5x-y^2}{xy-1})}

r(x,y)=\frac{y^3-5}{xy-1}

w(x,y)=\frac{5x-y^2}{xy-1}

Пример 4.9

Решить аналитически систему уравнений:

\left\{
\begin{aligned}
5y1+4y2-y3=3\\
3y1+2y2+3y3=6\\
2y1+2.5y2+4y3=9
\end{aligned}
\right.

На листинге показано точное решение системы и решение с точностью до 3 значащих цифр. Операторы solve и float набираются последовательно .

\begin{bmatrix} (5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end{bmatrix} solve,\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \end{pmatrix}\to \\ \to (-17.833333333333333333\ 24.0\ 3.8333333333333333333)

\begin{bmatrix} (5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end{bmatrix} \begin{vmatrix} solve,\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \end{pmatrix} \\ float, 3 \end{vmatrix} \to (-17.8 24.0 3.8)~~~3

Иногда сложные уравнения символьно не решаются, поэтому приходится обращаться к численным методам.

Численное решение. Использование блока Given Find()

Решение в скалярной форме. В данном методе система уравнений вводится без использования матриц, в "натуральном" виде. Операция аналогична решению системы

Пример 4.10

Решить систему уравнений, используя блок Given Find():

\left\{
\begin{aligned}
2x1+4x2-x3=7\\
x1+2x2+3x3=6\\
0.5x1+2.5x2+4x3=5
\end{aligned}
\right.

Предварительно указать начальные значения неизвестных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. (Часто за них принимают столбец свободных членов).

x1:=1, x2:=1, x3:=1

Given

2x1+4x2-x3=7

x1+2x2+3x3=6

0.5x1+2.5x2+-4x3=5

Find(x1,x2,x3)=\begin{pmatrix} -4.048 \\ 3.952 \\ 0.714 \end{pmatrix}

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Юрий Билоус
Юрий Билоус
Украина
Григорий Русских
Григорий Русских
Россия, Омск, Омский государственный технический университет, 2006