Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 24.04.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 2233 / 705 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Математик, Физик
Лекция 3:

Графика

< Лекция 2 || Лекция 3: 123456 || Лекция 4 >

3.2.3. Вычисление длины кривой

В декартовых координатах

Если кривая задана уравнением y=f(x),\ a < x < b , то длина кривой L вычисляется

L=\int_a^b{\sqrt{1+(\frac{d}{dx}f(x))^2}}dx ( 3.1)

Если кривая задана параметрически, x=x(t),\ y=y(t) на интервале b < t < a, длина кривой L вычисляется

L1:=\int_a^b{\sqrt{(\frac{d}{dt}x(t))^2+(\frac{d}{dt}y(t))^2}dt ( 3.2)

В полярных координатах

X=r(\varphi)cos(\varphi), y=r(\varphi)sin \varphi . Переменные x и y параметрические функции от \varphi. Тогда длина кривой в полярных координатах имеет вид:

\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}x(\phi))^2+(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}d\phi
=\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\cos{(\phi)}-r(\phi)\sin{(\phi)})^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\sin{(\phi)}+r(\phi)\cos{(\phi)})^2}}d\phi

\int_\alpha^\beta{\sqrt{r(\phi)^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi))^2}d\phi ( 3.3)

Пример 3.7

Вычислить длину кривой, заданной уравнением Y(x):=\mid x^2-\mid x\mid-2\mid.

На Рис.3.13 показано вычисление длин участков кривой и всей кривой для x [-4;4]. Точки пересечения определяются с помощью трассировки. Длина кривой вычисляется по формуле (3.1.)

Y(x):=|x^2-|x|-2|

 Листинг для примера 3.7

Рис. 3.17. Листинг для примера 3.7

L1:=\int\limits_{-4}^{-2} \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=10.209

L1:=\int\limits_0^2 \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=3.4

L:=L1+L2=13.609

Пример 3.8

Построить график функции y(\varphi), заданной в виде:

r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}, если 5\cos{(3\phi)}\ge0

y(\phi):=r(\phi) , если 5\cos{(3\phi)}\le0

Вычислить длину кривой для \varphi  [0, 2 \pi].

Функцию y(\varphi) вводим, используя условную функцию. График строится в полярных координатах (Рис.3.18). В таблицах выведены значения аргумента – угла и функции. Длина кривой рассчитана по формуле (3.3).

r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}, \phi=0,0.1,...,2\pi

y(\phi):=if(5\cos{(3\phi)}\ge0,r(\phi),0.5)

\phi=\begin{array}{|c|}\hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2\\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}

y(\phi)=\begin{array}{|c|}\hline 2.236 \\ \hline 2.186 \\ \hline 2.031 \\ \hline 1.763 \\ \hline 1.346 \\ \hline 0.595\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}

 Листинг для примера 3.8

Рис. 3.18. Листинг для примера 3.8

L:=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{y(\phi)^2+{(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}}d\phi=16.108

< Лекция 2 || Лекция 3: 123456 || Лекция 4 >
Петр Черкасов
Петр Черкасов
Россия, г. Ростов - на - Дону
Игорь Ананченко
Игорь Ананченко
Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), 2015