НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 14: Синтаксический разбор

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2487 / 1009 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00

ISBN: 978-5-9556-0062-8

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, finite, grammar, xml, автоматы, анализ, булева формула, дерево вывода, контекстно-свободная грамматика, контекстно-свободный язык, метка перехода, моноид, нетерминальный символ, протоколы, регулярные выражения, теория, шаг индукции, элементы

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Пример 13.1.29. Рассмотрим контекстно-свободную грамматику из примера 13.1.3. Грамматика с маркером конца строки имеет правила

$\begin{align*} T \; & {\to} \; S \eos , \\ S \; & {\to} \; c , \\ S \; & {\to} \; dS , \\ S \; & {\to} \; aSeSb . \end{align}$

Соответствующий нисходящий магазинный анализатор M, построенный в теореме 13.1.28, имеет приведенный ниже вид.

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix @=11mm{ *=[o][F-]{a} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,a:\varepsilon} \rloop{-1,0} ^{\varepsilon,T:S\boldsymbol{\$}} \rloop{0,1} ^{\varepsilon,S:aSeSb} & & *=[o][F-]{b} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,b:\varepsilon} & & *=[o][F-]{c} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,c:\varepsilon} \rloop{1,0} ^{\varepsilon,T:S\boldsymbol{\$}} \rloop{0,1} ^{\varepsilon,S:c} \\ *=[o][F-]{q_{\textrm{s}}} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "2,3" ^{\varepsilon,\varepsilon:T} & & *=[o][F=]{\varepsilon} \ar "1,1" <0.6mm> ^{a,\varepsilon:\varepsilon} \ar "1,3" <0.6mm> ^{b,\varepsilon:\varepsilon} \ar "1,5" <0.6mm> ^{c,\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,5" <0.6mm> ^{d,\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,3" <0.6mm> ^{e,\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,1" <0.6mm> ^{\boldsymbol{\$},\varepsilon:\varepsilon} & & \\ *=[o][F-]{\boldsymbol{\$}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{\$}:\varepsilon} & & *=[o][F-]{e} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,e:\varepsilon} & & *=[o][F-]{d} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,d:\varepsilon} \rloop{1,0} ^{\varepsilon,T:S\boldsymbol{\$}} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,S:dS} }$

Определение 13.1.30. Контекстно-свободная грамматика $G \peq \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ принадлежит классу LL(1), если для любых двух правил $( A \tto \alpha ) \in P_\eos$ и $( A \tto \beta ) \in P_\eos$ , где $\alpha \neq \beta$ , множества $\director_{ G_\eos }( A \tto \alpha )$ и $\director_{ G_\eos }( A \tto \beta )$ не пересекаются.

Замечание 13.1.31. Первая буква L в названии класса LL(1) означает, что входное слово читается слева направо (left-to-right). Вторая буква L означает, что строится левосторонний вывод (leftmost derivation). Число 1 указывает на то, что на каждом шаге для принятия решения используется один символ неразобранной части входного слова.

Пример 13.1.32. Грамматика из примера 13.1.3 принадлежит классу LL(1), а грамматика из примера 3.1.17 этому классу не принадлежит.

Теорема 13.1.33. МП-автомат M, построенный в теореме 13.1.28 по контекстно-свободной грамматике G, является детерминированным тогда и только тогда, когда грамматика G принадлежит классу LL(1).

Теорема 13.1.34. Грамматики из класса LL(1) порождают только детерминированные контекстно-свободные языки.

Теорема 13.1.35. Пусть контекстно-свободная грамматика $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ не содержит бесполезных символов. Система множеств $\first( \omega )$ (где $\omega \in \ns ^*$ ) состоит из наименьших ( по включению ) множеств, удовлетворяющих следующим условиям:

если $\phi \overstar{\Rightarrow} \varepsilon$ , то $b \in \first( \phi b \psi )$ для всех $b \in \Sigma$ и $\psi \in \ns ^*$ ;
если $\phi \overstar{\Rightarrow} \varepsilon$ , то $\first( A ) \subseteq \first( \phi A \psi )$ для всех $A \in N$ и $\psi \in \ns ^*$ ;
если $( A \tto \alpha ) \in P$ , то $\first( \alpha ) \subseteq \first( A )$ .

Теорема 13.1.36. Пусть контекстно-свободная грамматика $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ не содержит бесполезных символов. Система множеств $\follow( A )$ ( где $A \in N$ ) состоит из наименьших ( по включению ) множеств, удовлетворяющих следующим условиям:

если $B \in N$ и $( A \tto \phi B \psi ) \in P$ , то $\first( \psi ) \subseteq \follow( B )$ ;
если $B \in N$ , $( A \tto \phi B \psi ) \in P$ и $\psi \overstar{\Rightarrow} \varepsilon$ , то
$\follow( A ) \subseteq \follow( B ) .$

Замечание 13.1.37. Теоремы 13.1.35 и 13.1.36 дают алгоритм проверки принадлежности контекстно-свободной грамматики G классу LL(1). Можно предположить, что грамматика G не содержит бесполезных символов (их можно устранить).

Сначала необходимо вычислить значения $\first_{ G_\eos }( \omega )$ параллельно для всех слов $\omega$ , являющихся суффиксами правых частей правил грамматики $G_\eos$ . Для этого постепенно пополняем множества $\first_{ G_\eos }( \omega )$ (начав с пустых множеств), используя условия, приведенные в теореме 13.1.35.

Затем необходимо вычислить значения $\follow_{ G_\eos }( A )$ параллельно для всех вспомогательных символов A. Для этого постепенно пополняем множества $\follow_{ G_\eos }( A )$ (начав с пустых множеств), используя условия, приведенные в теореме 13.1.35.

В заключение вычислим значения $\director_{ G_\eos }( A \tto \alpha )$ для всех правил $A \tto \alpha$ , следуя определению функции $\director$ , и проверим условия из определения 13.1.30.

Теорема 13.1.38. Пусть даны контекстно-свободная грамматика $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ и символ $A \in N$ . Пусть

$P = P_0 \cup \{ A \tto A \alpha_1 , \ldots , A \tto A \alpha_n , A \tto \beta_1 , \ldots , A \tto \beta_m \} ,$

где множество P₀ не содержит правил с левой частью A и ни одно из слов $\beta_1 , \ldots , \beta_m$ не начинается с символа A. Тогда грамматика G эквивалентна контекстно-свободной грамматике $G' = \lalg N \cup \{ A' \} , \Sigma , P' , S \ralg$ , где A' - новый символ, не принадлежащий множеству $N \cup \Sigma$ , и

$P' = P_0 \cup \{ A \squeeze{\tto} \beta_1 A' , \ldots , A \squeeze{\tto} \beta_m A' , A' \squeeze{\tto} A' \alpha_1 , \ldots , A' \squeeze{\tto} A' \alpha_n , A' \squeeze{\tto} \varepsilon \} .$

Пример 13.1.39. Если к контекстно-свободной грамматике $G_\eos$ из примера 13.1.17 два раза применить преобразование из теоремы 13.1.38 (для вспомогательного символа A и для вспомогательного символа B ), то получим эквивалентную грамматику G' с правилами

$\begin{align*} S \; & {\to} \; A \eos , & B \; & {\to} \; C D , & C \; & {\to} \; \trm{(} A \trm{)} , \\ A \; & {\to} \; B E , & D \; & {\to} \; \trm{*} C D , & C \; & {\to} \; \trm{m} , \\ E \; & {\to} \; \trm{+} B E , & D \; & {\to} \; \trm{/} C D , & C \; & {\to} \; \trm{n} . \\ E \; & {\to} \; \trm{-} B E , & D \; & {\to} \; \varepsilon , \\ E \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

После упрощения получаем грамматику G'' с правилами

$\begin{align*} S \; & {\to} \; A \eos , & D \; & {\to} \; \trm{*} C D , & C \; & {\to} \; \trm{(} C D E \trm{)} , \\ A \; & {\to} \; C D E , & D \; & {\to} \; \trm{/} C D , & C \; & {\to} \; \trm{m} , \\ E \; & {\to} \; \trm{+} C D E , & D \; & {\to} \; \varepsilon , & C \; & {\to} \; \trm{n} . \\ E \; & {\to} \; \trm{-} C D E , \\ E \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

Язык L(G'') распознается детерминированным МП-автоматом $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q = \{ \qinitial , \varepsilon \}$ , $\Gamma = \{ C , E , D , \trm{)} , \eos \}$ , $I = \{ \qinitial \}$ , $F = \{ \varepsilon \}$ и

$\begin{align*} {} \Delta&=\{ \lp\lp\qinitial,\varepsilon,\varepsilon\rp, \lp\varepsilon,CDE\eos\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{*},D\rp, \lp\varepsilon,CD\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{/},D\rp, \lp\varepsilon,CD\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{+},DE\rp, \lp\varepsilon,CDE\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{-},DE\rp, \lp\varepsilon,CDE\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{)},DE\trm{)}\rp, \lp\varepsilon,\varepsilon\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\eos,DE\eos\rp, \lp\varepsilon,\varepsilon\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{m},C\rp, \lp\varepsilon,\varepsilon\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{n},C\rp, \lp\varepsilon,\varepsilon\rp\rp,\ \\&\hphantom{{}={}\{}%\} \lp\lp\varepsilon,\trm{(},C\rp, \lp\varepsilon,CDE\trm{)}\rp\rp \}. \end{align*}$

Можно доказать, что МП-автомат M является нисходящим магазинным анализатором для грамматики

$\begin{align*} A \; & {\to} \; C D E , & D \; & {\to} \; \trm{*} C D , & C \; & {\to} \; \trm{(} C D E \trm{)} , \\ E \; & {\to} \; \trm{+} C D E , & D \; & {\to} \; \trm{/} C D , & C \; & {\to} \; \trm{m} , \\ E \; & {\to} \; \trm{-} C D E , & D \; & {\to} \; \varepsilon , & C \; & {\to} \; \trm{n} . \\ E \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

Пример 13.1.40. Пусть $\Sigma = \{ \trm{m} , \trm{n} , \trm{-} , \trm{*} \}$ и $N = \{ A , B , C \}$ . Рассмотрим контекстно-свободную грамматику G с правилами

$\begin{align*} A \; & {\to} \; C D E , & D \; & {\to} \; \trm{*} C D , \\ E \; & {\to} \; \trm{-} C D E , & D \; & {\to} \; \varepsilon , \\ E \; & {\to} \; \varepsilon , & C \; & {\to} \; \trm{m} , \\ & & C \; & {\to} \; \trm{n} . \end{align*}$

Грамматика с маркером конца строки имеет правила

$\begin{align*} T \; & {\to} \; A \eos , & D \; & {\to} \; \trm{*} C D , \\ A \; & {\to} \; C D E , & D \; & {\to} \; \varepsilon , \\ E \; & {\to} \; \trm{-} C D E , & C \; & {\to} \; \trm{m} , \\ E \; & {\to} \; \varepsilon , & C \; & {\to} \; \trm{n} . \end{align*}$

Соответствующий нисходящий магазинный анализатор M, построенный в теореме 13.1.28, имеет приведенный ниже вид.

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix @=11mm{ *=[o][F-]{\boldsymbol{m}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{m}:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,T:A\boldsymbol{\$}} \rloop{-1,0} ^{\varepsilon,A:CDE} \rloop{0,1} ^{\varepsilon,C:\boldsymbol{m}} & & *=[o][F-]{q_{\textrm{s}}} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "2,3" ^{\varepsilon,\varepsilon:T} & & *=[o][F-]{\boldsymbol{\$}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{\$}:\varepsilon} \rloop{1,0} ^{\varepsilon,D:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,E:\varepsilon} \\ % & & *=[o][F=]{\varepsilon} \ar "1,1" <0.6mm> ^{\boldsymbol{m},\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,1" <0.6mm> ^{\boldsymbol{n},\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,3" <0.6mm> ^{\boldsymbol{*},\varepsilon:\varepsilon} \ar "3,5" <0.6mm> ^{\boldsymbol{-},\varepsilon:\varepsilon} \ar "1,5" <0.6mm> ^{\boldsymbol{\$},\varepsilon:\varepsilon} & & \\ *=[o][F-]{\boldsymbol{n}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{n}:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,T:A\boldsymbol{\$}} \rloop{-1,0} ^{\varepsilon,A:CDE} \rloop{0,1} ^{\varepsilon,C:\boldsymbol{n}} & & *=[o][F-]{\boldsymbol{*}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{*}:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,D:\boldsymbol{*}CD} & & *=[o][F-]{\boldsymbol{-}} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,\boldsymbol{-}:\varepsilon} \rloop{1,0} ^{\varepsilon,D:\varepsilon} \rloop{0,-1} ^{\varepsilon,E:\boldsymbol{-}CDE} }$

Легко убедиться, что грамматика G принадлежит классу LL(1) и МП-автомат M является детерминированным.

Упражнение 13.1.41. Существует ли детерминированный нисходящий магазинный анализатор для грамматики

$\begin{align*} S \; & {\to} \; bScS , \\ S \; & {\to} \; bS , \\ S \; & {\to} \; a ? \end{align*}$

Упражнение 13.1.42. Принадлежит ли грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; bS , \\ S \; & {\to} \; cSS \end{align*}$

классу LL(1)?

Упражнение 13.1.43. Принадлежит ли грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; Sb , \\ S \; & {\to} \; SSc \end{align*}$

классу LL(1)?

Дальше >>

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Синтаксический разбор

Вопросы и ответы