Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2483 / 1007 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 4:

Основные свойства автоматных языков

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

3.2. Пересечение и дополнение автоматных языков

Теорема 3.2.1. Класс автоматных языков замкнут относительно дополнения и пересечения.

Доказательство. Если язык L распознается полным детерминированным конечным автоматом \langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle, то язык \Sigma ^* - L распознается конечным автоматом \langle Q , \Sigma , \Delta , I , Q - F \rangle.

Пересечение выражается через объединение и дополнение (закон де Моргана).

Замечание 3.2.2. Автоматность пересечения двух автоматных языков можно легко доказать и без привлечения теоремы 2.7.1. Для этого достаточно построить по двум конечным автоматам с однобуквенными переходами

M_1 = \langle Q_1 , \Sigma , \Delta_1 , I_1 , F_1 \rangle ,\quad
 M_2 = \langle Q_2 , \Sigma , \Delta_2 , I_2 , F_2 \rangle
новый конечный автомат
M = \langle Q_1 \times Q_2 , \Sigma , \Delta ,
 I_1 \times I_2 , F_1 \times F_2 \rangle ,
где
\Delta = \{
 \langle \langle p_1 , p_2 \rangle , a , \langle q_1 , q_2 \rangle \rangle \mid
 \langle p_1 , a , q_1 \rangle \in \Delta_1, \;
 \langle p_2 , a , q_2 \rangle \in \Delta_2
\} .

Упражнение 3.2.3. Обозначим через L язык, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S , & T \; & {\to} \; a T , \\
S \; & {\to} \; b S , & T \; & {\to} \; b T , \\
S \; & {\to} \; abaa T , & T \; & {\to} \; \varepsilon . \\
S \; & {\to} \; babb T ,
\end{align*}
Найти праволинейную грамматику, порождающую язык \{a,b\}^* - L.

Упражнение 3.2.4. Обозначим через L язык, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; F     , & M \; & {\to} \; a M         , & F \; & {\to} \; b F \\
S \; & {\to} \; a a M , & M \; & {\to} \; b M         , & F \; & {\to} \; ab F \\
S \; & {\to} \; T     , & M \; & {\to} \; \varepsilon , & F \; & {\to} \; ba F \\
     &                  & T \; & {\to} \; a T         , & F \; & {\to} \; aba F \\
     &                  & T \; & {\to} \; b T         , & F \; & {\to} \; aaa F \\
     &                  & T \; & {\to} \; a a         , & F \; & {\to} \; \varepsilon .
\end{align*}
Найти праволинейную грамматику, порождающую язык \{a,b\}^* - L.

Упражнение 3.2.5. Обозначим через L язык, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a T , & T \; & {\to} \; a T , & C \; & {\to} \; a C , \\
S \; & {\to} \; b C , & T \; & {\to} \; b T , & C \; & {\to} \; b C , \\
     &                & T \; & {\to} \; b   , & C \; & {\to} \; a .
\end{align*}
Найти праволинейную грамматику, порождающую язык \{a,b\}^* - L.

Упражнение 3.2.6. Существуют ли такие детерминированные конечные автоматы M1 и M2, что язык L(M_1) \cup L(M_2) не порождается ни одним детерминированным конечным автоматом с количеством состояний n1n2+n1+n2, где n1 - количество состояний автомата M1 и n2 - количество состояний автомата M2?

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?