Мультиагентное управление
Задача консенсуса на графах
Поясним обозначения, использующиеся далее. Верхний индекс переменных будем используется в качестве индекса, а не показателя степени. Для матрицы элемент, находящийся на ее -й строке и в -м столбце называется -м элементом и обозначается как . Для вектора или матрицы определим норму Фробениуса . Будем использовать , чтобы определить вектор-столбец из единиц. Для вектор-столбцов определяет вектор-стоблец, полученный вертикальным соединением векторов.
Для описания топологии сети будем использовать понятия теории графов. Ориентированный граф (орграф) состоит из множества узлов и множества ребер . Ребро определяется упорядоченной парой , где . Направленный путь (из узла в узел ) состоит из последовательности узлов таких, что . Орграф называется сильно связным , если из любого узла в любой другой узел существует направленный путь. Направленное дерево – это орграф, в котором каждый узел , кроме корня, имеет ровно одного родителя , такого, что . Будем называть подграфом , если и . Будем говорить, что орграф содержит остовное дерево , если существует направленное дерево как подграф . Матрицей связности графа называется матрица размером такая, что , где , если и в остальных случаях. Если – неориентированный граф, то каждое ребро определяется как неупорядоченная пара , где .
Топология динамической сети, показывающая принимаемые сигналы моделируется с помощью последовательности орграфов , где , а каждое и случайно меняется во времени. Матрица связности – матрица, которая полностью определяет . Если , то говорим, что узел получает информацию от узла , который называется соседом узла . Обозначим – множеством соседей узла . Множество соседей подмножества определяется следующим образом:
( 1) |
Пусть определяет состояние узла в момент времени . Определим информационный поток в сети как , где набор значений состояний узлов сети, , а – топология . Состояниями узла могут быть, например, физические характеристики (положение, температура, напряжение и др.). В динамической сети с переменной топологией информационный поток – это дискретное состояние системы, меняющееся во времени. Будем говорить, что узлы и согласованы в сети тогда и только тогда, когда , и узлы достигли консенсуса тогда и только тогда, когда для любых . Когда все узлы сети согласованы, общее значение узлов называется групповым решением .
Если узлы графа – динамические агенты , описываемые уравнениями:
( 2) |
то динамический граф(или динамическая сеть) – это динамическая система с состояниями , в которой меняется в соответствии с динамикой сети
, где
Будем считать, что в момент времени , если узел получает, возможно, устаревшую информацию от своих соседей, моделируемую следующим образом:
( 3) |
где – помехи, а – целочисленная случайная задержка. Так как система начинает работу при , неявным требованием к множеству соседей будет:
( 4) |
Каждый узел использует информацию о своем собственном состоянии (может быть и зашумленную), а также свои зашумленные измерения для . Будем называть обратную связь по наблюдениям состояний
( 5) |
протоколом с топологией , для любого из узлов удовлетворяет свойству:. Если < для любого , то (5) называется распределенным протоколом .
Пусть – некоторая функция переменных. Задача -консенсуса в динамическом графе заключается в распределенном вычислении , применяя входы .
Определение 1: Протокол (5) асимптотически решает задачу -консенсуса тогда и только тогда, когда существует асимптотически устойчивое равновесие для , удовлетворяющее для любого .
Отметим особые случаи, когда , и , называемые консенсус усреднения , -консенсус и -конснсус соответственно 6. Эти случаи широко применяются в распределенных системах принятия решений для мультиагентных систем.
Решение задачи консенсуса усреднения является примером распределенного вычисления линейной функции , используя сеть динамических систем (или интеграторов).
Пусть – основное вероятностное пространство и будем считать, что часть или все определенные выше переменные, вектора и матрицы – случайные величины.
Обозначим максимальное множество каналов связи .
Для удобства статистического моделирования предположим следующее: и определены для всех . Если не появляется в , тогда (3) физически не работает и и можно считать нулями. Если , положим . Пусть перечислены в определенном порядке , тогда получаем вектор помех размерности .
Определение 2: узлов достигают среднеквадратичного консенсуса , если и существует случайная переменная такая что для .
Далее будет рассмотрен пример мультиагентной системы с описанными выше параметрами.