НОУ ИНТУИТ | Основы информатики и программирования. Лекция 9: Индуктивные функции на пространстве последовательностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный индустриальный университет

Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3333 / 380 | Оценка: 4.17 / 3.79 | Длительность: 24:17:00

Темы: Программирование, Образование

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Критерий минимальности

Перед тем, как сформулировать критерий минимальности, докажем существование минимального индуктивного расширения.

Теорема 9.3. Минимальное индуктивное расширение для любой функции $f\colon X^* \rightarrow Y$ существует.

Доказательство Для доказательства теоремы построим в три этапа каноническое минимальное индуктивное расширение $\widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y$ заданной функции .

Первый этап. Рассмотрим на множестве цепочек X^* бинарное отношение $\approx$ , задаваемое формулой $a\approx b \Longleftrightarrow (\forall \omega \in X^* \ f(a\circ \omega) = f(b\circ \omega))$ , и покажем, что

1) $\approx$ — отношение эквивалентности на X^* ;

2) $\forall a,b\in X^*\ \forall x\in X\ a\approx b \Rightarrow a\circ x\approx b\circ x$ ;

3) $\forall a,b\in X^*\ a\approx b \Rightarrow f(a)=f(b)$ .

Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения $\approx$ вытекают соответственно из рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения равенства.

Так как $a\circ x\approx b\circ x\Longleftrightarrow (\forall \omega_1 \in X^* \ f(a\circ x\circ \omega_1) = f(b\circ x\circ \omega_1))$ , то взяв в качестве цепочки $\omega$ , фигурирующей в определении отношения $\approx$ , $\omega=x\circ \omega_1$ , убеждаемся в истинности второго свойства.

Свойство 3) немедленно следует из определения отношения $\approx$ , если в качестве $\omega$ взять пустую цепочку $\varepsilon$ .

Второй этап. Построим пространство $\widehat Y$ и отображение $\widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y$ . В качестве $\widehat Y$ возьмем фактормножество (множество классов эквивалентности) $X^*/\approx$ , что можно сделать в силу свойства 1). Договоримся обозначать класс эквивалентности, содержащий цепочку $\omega$ через $[\omega]$ и определим отображение $\widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y$ формулой $\widehat F(\omega)= [\omega]$ .

Переписав свойство 2) в эквивалентном виде $\forall a,b\in X^*\ \forall x\in X\ \widehat F(a)= \widehat F(b) \Rightarrow \widehat F(a\circ x) = \widehat F(b\circ x)$ , из критерия индуктивности заключаем, что отображение $\widehat F$ — индуктивно.

Покажем, что $\widehat F$ является индуктивным расширением исходной функции $f\colon X^* \rightarrow Y$ . Определим проекцию $\pi\colon \widehat Y \rightarrow Y$ формулой $\pi([\omega])=f(\omega)$ . Корректность этого определения следует из свойства 3) — если две цепочки $\omega_1$ и $\omega_2$ принадлежат одному классу эквивалентности, то значение функции на них совпадает. Так как $f(\omega) = \pi(\widehat F(\omega))$ для произвольной цепочки $\omega\in X^*$ , то $\widehat F$ действительно является индуктивным расширением отображения .

Третий этап. Нам осталось показать, что построенное каноническое индуктивное расширение является минимальным.

Сюръективность $\widehat F$ следует непосредственно из его построения, ибо каждый класс эквивалентности $[\omega]$ не пуст.

Предположим далее, что существует $\widetilde F\colon X^* \rightarrow \widetilde Y$ — иное индуктивное расширение исходной функции , тогда для завершения доказательства теоремы нам необходимо показать, что $\widetilde F \geqslant \widehat F$ .

Определим проекцию $p \colon \widetilde Y \rightarrow \widehat Y$ формулой $p(y) = [\omega]$ , где $\omega$ — один из прообразов элемента при отображении $\widetilde F$ . Проверим корректность данного определения.

Пусть $\widetilde F(\omega_1) = \widetilde F(\omega_2) = y$ . Тогда в силу индуктивности $\widetilde F$ для произвольной цепочки $\omega$ справедливо равенство $\widetilde F(\omega_1\circ\omega) = \widetilde F(\omega_2\circ\omega)$ , а так как $\widetilde F$ — индуктивное расширение функции , то и $f(\omega_1\circ\omega) = f(\omega_2\circ\omega)$ . Полученное равенство может быть переписано в виде $[\omega_1]=[\omega_2]$ , показывающем корректность определения проекции .

Равенство $\widehat F(\omega) = [\omega] = p(\widetilde F(\omega))$ для произвольной цепочки $\omega\in X^*$ показывает, что $\widetilde F \geqslant \widehat F$ . Теорема полностью доказана.

Построенное в процессе доказательства этой теоремы каноническое индуктивное расширение позволяет убедиться в истинности следующего критерия минимальности.

Теорема 9.4. Критерий минимальности. Индуктивное расширение $\widetilde F\colon X^* \rightarrow \widetilde Y \text{\ функции\ } f\colon X^* \rightarrow Y \text{ — минимально} \Longleftrightarrow ( (\widetilde F(X^*)=\widetilde Y) \land (\forall a,b\in X^*\ \widetilde F(a)\ne \widetilde F(b) \Rightarrow a\not\approx b) )$ .

Доказательство Необходимость первого условия критерия следует непосредственно из определения минимальности. Второе условие выполнено по построению для канонического минимального индуктивного расширения $\widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y$ , а так как по теореме единственности отображения $\widehat F$ и $\widetilde F$ изоморфны, то и для $\widetilde F$ .

Для доказательства достаточности рассмотрим каноническое минимальное индуктивное расширение $\widehat F\colon X^* \rightarrow \widehat Y$ и покажем, что оно изоморфно нашему $\widetilde F \colon X^* \rightarrow \widetilde Y$ . В силу минимальности $\widehat F$ существует отображение $p \colon \widetilde Y \rightarrow \widehat Y$ , такое что $\widehat F(\omega) = p(\widetilde F(\omega))$ для произвольной цепочки $\omega\in X^*$ . Критерий будет доказан, если мы покажем, что отображение — биекция.

Сюръективность вытекает из сюръективности $\widehat F$ и $\widetilde F$ , а инъективность доказывается следующим рассуждением. Рассмотрим различные и из $\widetilde Y$ и, воспользовавшись сюръективностью $\widetilde F$ , найдем цепочки и из X^* такие, что $\widetilde F(a) = u$ , а $\widetilde F(b) = v$ . Так как $\widetilde F(a)\ne \widetilde F(b)$ , то в силу данного нам условия $a\not\approx b$ , что эквивалентно неравенству $\widehat F(a)\ne \widehat F(b)$ .

Следовательно, отображение различные и преобразует в различные же $p(u)=\widehat F(a)$ и $p(v)=\widehat F(b)$ , что и требовалось доказать.

Докажем, что функция $F\colon \mathbb{R}^*_1 \rightarrow \mathbb{R}\times \mathbb{N}$ , определенная по формуле $\displaystyle F(\omega)=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i, n\right)$ , где $\omega = a_1a_2\ldots a_n$ , $n=|\omega|$ и $\pi(s,n) = s/n$ , является минимальным индуктивным расширением для $f\colon \mathbb{R}^*_1 \rightarrow \mathbb{R}$ среднее арифметическое элементов последовательности. Для доказательства сюръективности функции предъявим прообраз произвольного элемента $(s,n) \in \mathbb{R}\times \mathbb{N}$ . Им будет цепочка из элементов, первый из которых равен , а остальные — нулевые. Для того чтобы проверить второе условие критерия минимальности, необходимо убедиться в том, что $\forall a,b\in X^*\ F(a)\ne F(b)\ \exists \omega \in X^*\ f(a\circ \omega) \ne f(b\circ \omega)$ . Пусть F(a)=(s_1,n_1) , F(b)=(s_2,n_2) и либо $s_1\ne s_2$ , либо $n_1\ne n_2$ . Если для пустой цепочки $\omega= \varepsilon$ верно, что $f(a\circ \omega) \ne f(b\circ \omega)$ , то все доказано. Иначе имеем s_1/n_1 = f(a) = f(b) = s_2/n_2 . Возьмем теперь в качестве $\omega$ одноэлементную цепочку . Предположив, что для нее $f(a\circ \omega) = f(b\circ \omega)$ , из системы

$\begin{cases} s_1/n_1 &= s_2/n_2,\\ s_1/(n_1+1)&=s_2/(n_2+1) \end{cases}$

получим s_1=s_2 , n_1=n_2 , что противоречит предположению. Это завершает доказательство минимальности .

Минимальные индуктивные расширения обладают тем достоинством, что позволяют свести к минимуму ту дополнительную информацию, которая необходима для индуктивного перевычисления исходной функции. Иначе это свойство может быть сформулировано следующим образом.

Теорема 9.5. Для произвольной функции на пространстве последовательностей существует единственный с точностью до изоморфизма однопроходный алгоритм с минимальной емкостной сложностью.

Дальше >>

Авторизоваться

Основы информатики и программирования

Индуктивные функции на пространстве последовательностей

Критерий минимальности

Вопросы и ответы