Основы информатики и программирования
[+]
Московский государственный индустриальный университет
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3333 / 380 | Оценка: 4.17 / 3.79 | Длительность: 24:17:00
Темы: Программирование, Образование
Специальности: Программист
Теги: beta, cmd, java, objective-c, t-инвариантная функция, алгоритмы, вектор проектирования, выпуклая оболочка, вычисления, значение формулы, индуктивная функция, индуктивное расширение, интерфейсы, книги, компиляторы, компоненты, полиэдр, программирование, проектирование, спецификации, стековый калькулятор, условие продолжения цикла, число Фибоначчи, элементы
Лекция 7:

Базисные схемы обработки информации
A
|
версия для печати
< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Задачи для самостоятельного решения

При решении задач на рекурсию необходимо обосновать как то, почему программа заканчивает работу, так и то, почему после ее завершения будет получен требуемый результат.

При использовании схемы вычисления инвариантной функции необходимо указать множества X, Y и X_P, функцию F и преобразование T (см. определение инвариантной функции) и объяснить программную реализацию преобразования T.

Задача 7.7. Напишите рекурсивную программу, печатающую значение производной многочлена степени n\geqslant0 в заданной точке x_0. Коэффициенты многочлена хранятся в массиве a в порядке убывания степеней и являются целыми числами, так же как и значение x_0. Величины n, x_0 и элементы массива a изменять в программе нельзя.

Указание Пусть P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n. Продифференцируем по x равенство P_n(x) = x \cdot P_{n-1}(x) + a_n и подставим затем x=x_0. Мы получим следующие соотношения:

P'_0(x_0) = 0,

P'_n(x_0) = x_0 \cdot P'_{n-1}(x_0) + P_{n-1}(x_0).

Воспользовавшись ими и формулами

P_0(x_0) = a_0,

P_n(x_0) = x_0 \cdot P_{n-1}(x_0) + a_n,

легко определить рекурсивную функцию неотрицательного целого аргумента g\colon \mathbb{Z}_M \rightarrow \mathbb{Z}_M \times \mathbb{Z}_M, g(n) = (P'_n(x_0), P_n(x_0)) для вычисления которой и пишется программа.

Задача 7.8. Напишите программу, возводящую целое число в целую неотрицательную степень. Точные пред- и постусловия требуемой программы таковы: Q=(a\in \mathbb{Z}_M \land b\in \mathbb{Z}_M \land a > 0 \land b \geqslant 0), R=(z=a^b). При написании программы величины a и b изменять не разрешается, следует использовать инвариант I = (y \geqslant 0 \land z \cdot x^y = a^b) и ограничивающую функцию h = y.

Задача 7.9. Напишите программу, находящую наибольший общий делитель gcd(x,y) двух целых неотрицательных чисел x и y, не равных одновременно нулю. Воспользуйтесь следующим свойством наибольшего общего делителя (докажите его!):

gcd(x,y)=\begin{cases} gcd(x\%y,y),& \text{если $x\geqslant y$},\\ gcd(x,y\%x),& \text{иначе}. \end{cases}
Здесь операция x\%y позволяет найти остаток от деления x на y.

Задача 7.10. Напишите программу, возводящую целое число в целую неотрицательную степень. Точные пред- и постусловия требуемой программы таковы: Q=(a\in \mathbb{Z}_M \land b\in \mathbb{Z}_M \land a > 0 \land b \geqslant 0), R1=(z=a^b). При написании программы величины a и b изменять не разрешается. Воспользуйтесь тем, что функция F\colon \mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M \rightarrow \mathbb{Z}_M, F(x,y,z) = zx^y является инвариантной относительно преобразования T\colon \mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M \rightarrow \mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M, задаваемого формулой T(x,y,z)=(x,y-1,xz).

Задача 7.11. Напишите программу, находящую наибольший общий делитель gcd(x,y) двух целых неотрицательных чисел x и y, не равных одновременно нулю. Программа должна иметь временную сложность порядка \Theta(\log \max(x,y)) и не использовать операций деления и нахождения остатка от деления (допустимо деление пополам, реализуемое с помощью операции сдвига). Воспользуйтесь следующими свойствами наибольшего общего делителя (докажите их!):

gcd(2x,2y)=2gcd(x,y), \qquad gcd(2x, 2y+1)=gcd(x,2y+1).

Указание Воспользуйтесь инвариантностью функции F(x,y,z)=z\cdot gcd(x,y) относительно следующего преобразования T:

T(x,y,z)=\begin{cases} (x/2,y/2,2z),& \text{если оба числа $x$ и $y$ — четны},\\ (x/2,y,z), & \text{если $x$ — четно, а $y$ — нечетно},\\ (x,y/2,z), & \text{если $x$ — нeчетно, а $y$ — четно},\\ (x-y,y,z), & \text{если $x$ и $y$ — нечетны и $x\geqslant y$},\\ (x,y-x,z), & \text{если $x$ и $y$ — нечетны и $x < y$}. \end{cases}
Не забудьте доказать T,-инвариантность функции F.

Дальше >>
< Лекция 6 || Лекция 7: 12345 || Лекция 8 >

Вопросы и ответы

вопросов: 2
Анастасия Халудорова
Анастасия Халудорова
ответить
екатерина яковлева
екатерина яковлева
ответить