Базисные схемы обработки информации

Схема вычисления инвариантной функции

Общая схема итерации значительно упрощается для случая вычисления значений инвариантных функций.

Определение 7.3. Пусть — некоторое множество, — заданная на нем функция, а — предикат такой, что легко вычислить ). Обозначим через то подмножество множества , где . Если существует преобразование такое, что , то функция называется -инвариантной или просто инвариантной функцией.

Простейшим примером инвариантной функции является хорошо известная еще из средней школы функция , . Она является -инвариантной относительно преобразования , .

Наибольший общий делитель двух целых чисел (greatest common divisor, или просто ) инвариантен относительно преобразования , задаваемого формулой

Доказательство этого факта, основанное на основной теореме арифметики о разложении числа на простые множители, является достаточно простым и оставляется читателю. Обратите только внимание на то, что функция не определена в точке .

Для вычисления значения -инвариантной функции в точке применяется следующая схема.

Схема вычисления инвариантной функции.

Многократно выполняется преобразование , дающее последовательность точек Если очередная точка попадaет в подмножество , то итерации завершаются. По определению инвариантной функции легко вычисляется и совпадает с искомым .

Рисунок 7.4 содержит графическую иллюстрацию этой схемы.

Рис. 7.4. Схема вычисления инвариантной функции

Схема вычисления инвариантной функции значительно облегчает проектирование программы "S0;while(e)S;S1;", так как нам изначально известны инвариант и условие продолжения цикла . Тело цикла S конструируется, как программная реализация известного преобразования , а написание S1, вычисляющей , не может представлять трудностей в силу самого определения инвариантной функции.

В качестве иллюстрации применения схемы вычисления инвариантной функции рассмотрим следующую задачу.

Задача 7.4. Напишите программу, находящую наибольший общий делитель двух целых неотрицательных чисел и , не равных одновременно нулю. Воспользуйтесь следующими свойствами наибольшего общего делителя (не забудьте научиться доказывать все эти свойства):

• ,
• ,
• , , .

Решение Если через обозначить множество всех неотрицательных целых чисел, представимых в ЭВМ, то , , , . В качестве преобразования можно взять

Таким образом, нам известны инвариант и условие продолжения . Начальные присваивания S0 в данном случае не нужны, тело цикла S пишется по определению , a программа S1, вычисляющая для , реализуется с помощью справедливой для этих значений аргумента формулы .

Текст программы

public class Gcd {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        int x = Xterm.inputInt("x -> ");
        int y = Xterm.inputInt("y -> ");
        Xterm.print("gcd(" + x + "," + y + ") =");
        while ( (x != 0) && (y != 0) ) {
            if (x >= y) x -= y;
            else        y -= x;
        } 
        Xterm.println(" " + (x+y));
    }
}

Обратите внимание на тот факт, что в построенной программе не понадобилось наличие переменной, соответствующей значению инвариантной функции .

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 7.5. Напишите программу, перемножающую два целых числа, одно из которых неотрицательно, без использования операции умножения. Точные пред- и постусловия требуемой программы, временная сложность которой не должна превосходить , таковы: , . При написании программы величины и изменять не разрешается. Воспользуйтесь тем, что функция , является инвариантной относительно преобразования , задаваемого формулой

В данном случае , , , . Функция и преобразование заданы в условии задачи.

Таким образом, нам известны инвариант и условие продолжения . Начальные присваивания S0 очевидны ( "x=a; y=b; z=0;" ), тело цикла S пишется по определению , a программа S1, вычисляющая для , в данном случае вырождается в пустой оператор ";", так как для этих значений аргумента . В результате получаем уже знакомую нам программу.

Текст программы

public class MulInv {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        int a = Xterm.inputInt("a -> ");
        int b = Xterm.inputInt("b -> ");
        int x = a, y = b, z = 0;
        while (y > 0) {
            if ((y&1) == 0) {
                y >>>= 1; x +=  x;
            } else {
                y  -=  1; z +=  x;
            }
        }
        Xterm.println("a * b = " + z);
    }
}