Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Комбинаторные задачи с ограничениями

< Лекция 7 || Лекция 8: 12
Аннотация: Приводятся приемы решения задач с ограничениями на порядок следования или порядок выбора. Даются частные решения и приводятся общие формулы. Рассматриваются задачи на смещение элементов и пар элементов.

Задачи с ограничением на порядок

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых на порядок элементов в комбинациях не накладывалось никаких ограничений или дополнительных условий. Либо (как в сочетаниях) порядок вообще не учитывался . Рассмотрим задачи с ограничением.

Задача 1. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену 5 львов и 4 тигра, при этом нельзя , чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей?

Обозначим львов буквой Л. Для тигров имеется 6 мест.

_____Л1_____Л2_____Л3____Л4_____Л5______

Львов можно расположить 5! Способами, то есть 120. На шести местах для тигров их можно расположить А^4_6=6 * 5 * 4 * 3 = 360 способами.

Общее число способов 120 * 360 = 43200.

Для задачи в общем виде, если имеется: k тигров и n львов.

P_n*A^k_{n+1} = n!*(n+1)*n*(n-1)*.....(n-k+1), но так как A^k_n = P_k* C^k_n, то

P_nP_kC^k_{n+1}=\frac{ n!k!(n+1)!}{ k!(n+1-k)!}=\frac{ n!(n+1 )!}{ (n-k+1)!}

Это возможно лишь при условии , что n-k+1 \ge 0, k \le n+1

Задача 2. Строится лестница из точки А в точку В. Расстояние АС=4,5м, 
ВС=1,5м. Высота ступеньки 0,3м , ширина - 0,5м или кратное 0,5 ( рис. 8.1). Сколькими способами можно построить лестницу ?


Рис. 8.1.

Из условия видно, что лестница должна иметь 1,5/0,3=5 \mbox{ (ступеней)}, при этом имеется 10 мест , где можно устроить ступеньку: 4,5/0,5=9 \mbox{ (ступеней)} и одна крайняя.

Следовательно, надо выбрать 5 мест для ступеньки из 10: С^5_{10}=10!/5!5!=252 способами.

Варианты построения показаны на рис. 8.2.


Рис. 8.2.

В общем случае: если k ступенек, то лестницу можно построить C^k_{n+1} способами.

Эта задача похожа на предыдущую; укротитель не может ставить двух тигров, а строитель - делать ступеньки удвоенной высоты. Но есть существенное различие: все звери разные, а ступеньки одинаковые, поэтому выбор у строителя меньше.

Обобщением задачи о лестнице (лестницу зашифровать 1 и 0..... ) может быть следующее: сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц , чтобы две единицы не стояли рядом.

Это можно сделать C^k_{n+1} способами.

Ограничения на порядок выбора

Задача 1. На книжной полке стоят 12 книг. Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы никакие две из них не стояли рядом.

Зашифруем выбор 0 и 1: каждой оставленной книге поставим в соответствие 0, каждой выбранной - 1. Таким образом, имеем 5 единиц и 7 нулей и задача сводится к предыдущей.

C^5_{7+1}=C^5_8

В общем виде: Если стоит n книг, а выбирается k книг, не стоящих рядом, то это можно сделать

C^k_{(n-k)+1}

Задача 2. За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует с соседом . Надо выбрать 5 рыцарей (например в экспедицию ,чтобы освободить заколдованную принцессу), причем так, чтобы среди них не было враждующих. ( рис. 8.3) Сколькими способами это можно сделать?


Рис. 8.3.

Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что рыцари сидят не в ряд, а по кругу. Но ее легко свести к случаю, когда рыцари сидят в ряд. Для этого возьмем рыцаря, например сэра Ланселота, и разомкнем круг. Все выбираемые комбинации распадаются на два класса: в одном участвует сэр Ланселот, в другом - нет. Подсчитаем сколько комбинаций входит в каждый класс.

  1. Если сэр Ланселот отправился в поход , то его соседи справа и слева не должны участвовать. Остаются 9 рыцарей из которых надо выбрать 4. Надо проследить, чтобы среди выбранных не было врагов, то есть чтобы никакие двое не сидели рядом. Цепь разорвана следовательно:

    C^4_{9-4+1}= C^4_6= \frac{6!}{4!2!}=15.
  2. Так как сэр Ланселот не участвует в экспедиции, то его можно исключить, остается 11 рыцарей, из которых выбирается 5.

    C^5_{11-5+1}=C^5_7=21. По правилу суммы всего C^4_6+C^5_7=15+21=36.

В общем случае, если по кругу расположены n элементов, а надо выбрать k так , чтобы в их число не попали два соседа , то это можно сделать C^{k-1}_{n-k-1}+C^k_{n-k} способами.

Это доказывается точно так же , как и выше . Все комбинации элементов разбиваются на два класса в зависимости от одного из них (сэра Ланселота). В первом варианте будет C^{k-1}_{n-k-1} комбинаций , а во втором C^k_{n-k}. Легко проверяется , что C^{k-1}_{n-k-1}+C^k_{n-k}=\frac{n}{n-k}* C^k_{n-k}

Доказательство:

\begin{array}{l}
\frac{(n-k-1)!}{(k-1)!(n-k-1-k+1)!}+\frac{(n-k)!}{k!(n-k-k)!} =\frac{(n-k-1)!(n-k)k}{(k-1)!(n-2k)!(n-k)k}+\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}=\\
 \frac{(n-k)!*k}{k!(n-2k)!*(n-k)}+\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}=C^k_{n-k}*(\frac{k}{n-k}+1)= \frac{n}{n-k}*C^k_{n-k}\\
 \end{array}, ч. т. д.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Константин Дементьев
Константин Дементьев
Россия, г. Мичуринск
Дмитрий Карачун
Дмитрий Карачун
Беларусь, Минск