Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Комбинаторика

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >

Упорядоченные подмножества. Размещения

Упорядоченные k -элементные подмножества множества из n элементов называются размещениями из n элементов по k.

Различные размещения из n по k отличаются компонентами либо их порядком. Общее число размещений без повторений из n элементов по k обозначаются А_n^k и равно

А_n^k = n(n - 1)......(n - k + 1), n > k.

Так как повторение элементов не допускается, то всегда n \ge k. Будем считать, что при k = 0 имеем одно размещение (элементы вообще не выбираются), т. е. положим A_n^0 = 1.

Размещение k элементов можно представить себе как заполнение некоторых k позиций элементами заданного множества. При этом 1-ю позицию можно заполнить n различными способами. После того как 1-я позиция заполнена, элемент для заполнения 2-й позиции можно выбрать (n - 1) способами. Если этот процесс продолжить, то после заполнения позиций с 1-й по (k - 1) -ю будет иметься (n - k + 1) способов заполнения последней k -й позиции. Перемножая эти цифры, мы получаем формулу.

В частном случае, когда k = n, имеем

A_n^n = P_n = n!.

Пример. Пусть дано множество из четырех элементов S = \left\{ {a, b, c, d} \right\}. Какие различные размещения по два элемента можно составить и сколько их, т. е. A_4^2?

Количество размещений A_4^2 = 4 \times 3 = 12.

Множество размещений S_A = \left\{ {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), 
(b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d),  (d, a), (d, b), (d, c)} \right\}.

Задача. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно это сделать, если в один день сдавать не более одного экзамена?

Искомое число способов равно числу четырехэлементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов:

А_8^4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680\mbox{ способов}.

Размещения с повторением

Любой упорядоченный набор k элементов множества, состоящего из n элементов называется размещением с повторением \tilde {A_n^k} из n элементов по k. Число различных размещений с повторениями есть

\tilde {A_n^k} = n^k .

Пример. Для множества S = \left\{ {a, b, c, d} \right\} предыдущего примера число различных двухэлементных размещений с повторениями \tilde {A_4^2} = 4^2 = 16. В множество S_A к тому, что записано, добавляются следующие элементы (а, а), (b, b), (c, c), (d, d).

Задача. Все буквы, цифры, знаки в ЭВМ кодируются двоичными последовательностями определенной длины, компоненты которой равны 0 или 1.

Например:

0 - 0\\ 	  		    
1 - 1\\	          	
2 - 10\\
3 - 11\\
4 - 100\\
5 - 101\\	
6 - 110\\	
\ldots\\
А - 1001

Максимальное число символов (букв, цифр, ......), которые могут быть представлены с помощью q двоичных символов ( q бит) равно числу размещений с повторениями q элементов из множества, содержащего два различных элемента \left\{ {0 \mbox{ и } 1} \right\} , т. е. \tilde A_q^2 = 2^q.

Обратная задача. Сколько различных чисел (знаков) может быть записано двоичными словами длиной 4, 8 , 16:

2^4 =16
2^8 = 256
2^{16} = 65536.

Или имеется алфавит из 64 слов. Сколько необходимо разрядов, чтобы закодировать в двоичной системе.

N = 64,     64 = 2^q ,  q = 6.
< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига