Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Свойства отношений

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >

Отношения эквивалентности и порядка

Определение. Бинарное отношение на множестве называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно .

Пример 1. На множестве всех треугольников отношение, определяемое как \left\{ R_1 = {(x, y) : \mbox{ x и y имеют одинаковую площадь }} \right\}, является тривиальным отношением эквивалентности.

Пример 2. Отношение, определяемое на множестве всех программ

R_2 = {(a, b) :
a и b вычисляют одну и ту же функцию на определенной машине, это является отношением эквивалентности.

Поскольку из понятия равенства (скажем, между числами) возникает математическое понятие эквивалентности, некоторые неравенства могут также использоваться как модели для более широкого класса отношений.

Частичным порядком на множестве A назовем отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Порядок (называемый также отношением порядка) - это обобщение отношения \le на N . Поэтому можно легко проверить требуемые три свойства. Заметим, что мы могли бы в качестве определения взять отношение <. Тогда отношение порядка было бы только транзитивно. Следовательно, свойство транзитивности является наиболее важным для отношения порядка.

Определив отношение \le , можно определить отношение < следующим образом: a \le b \leftrightarrow a < b \mbox{ и } a \ne b.

Аналогично, если задано <, то a \le b \leftrightarrow a = b \mbox{ или } a < b. Пример 1. Порядок чисел на действительной оси R является полным.

Пример 2 ( рис. 4.5). Отношение \sigma = \left\{ {(x, y) : x, y \in N \mbox{ и } x \le y} \right\} рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.


Рис. 4.5.

Функции

Подмножество F \subset M_x \times  M_y называется функцией, если для каждого элемента x, x \in M_x, найдется не более одного элемента y \in M_y вида (x, y) \in F ;

При этом если для каждого элемента x имеется один элемент y вида (x, y) \in F, то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае - частично определенной (недоопределенной).

Множество M_x образует область определения функции F, множество M_y - область значения функции F. Часто вместо записи (x,y) \in F используют запись y = F(x) ; при этом x называют аргументом или переменной, а y - значением функции.

Пример. M_x = \left\{ {x_1, x_2, x_3, x_4} \right\}  M_y = \left\{ {y_1, y_2, y_3} \right\} ( рис. 4.6).


Рис. 4.6.


Функция f: A \rightarrow B является отображением, если область ее определения совпадает с A, т. е. D_f=A. Отображение на множество называют трансформацией (преобразованием).

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Дмитрий Овчинников
Дмитрий Овчинников
Россия