Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1739 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Свойства отношений

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: Приводятся сведения о свойствах отношений таких как рефлексивность, симметричность, антисиметричность, транзитивность и даются возможные графические интерпретации этих свойств. Рассматриваются отношения эквивалентности и порядка. Дается понятие функции и отображения

Пусть \rho - отношение на множестве A.

Тогда

а) \rho рефлексивно, если x \rho x для \forall x \in A ;

б) \rho симметрично, если x \rho y влечет y \rho x ;

в) \rho транзитивно, если x \rho y и y \rho z влечет x \rho z ;

г) \rho антисимметрично, если x \rho y и y \rho x влекут x = y.

Пример 1. Пусть \rho = \left\{ {(x, y) : x, y \in N \mbox{ и x - делитель y }} \right\}, N = 1, 2, …, 9.

В явном виде

\rho = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) \right\}

Тогда \rho

  • рефлексивно, так как x/x = 1 для всех x \in N ;
  • несимметрично, поскольку 2 - делитель 4, то 4 не является делителем 2;
  • транзитивно, так как (2, 4) и (4, 8) влечет (2, 8);
  • антисимметрично, так как если x/y \in N и y/x \in N, то x = y.

Пример 2. Пусть P - множество всех людей, A и S определяются cледующим образом: A = \left\{ {(x, y) : x, y \in P \mbox{ и x - предок y }} \right\}\\ 
S = \left\{ {(x, y) \in P \mbox{ и x и y имеют одних и тех же родителей }} \right\}.

Очевидно, что A транзитивно, а S рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 3. Пусть P - множество всех людей. Определим отношение B такое, что x B y тогда и только тогда, когда x является братом y. B = \left\{ {(x, y): x, y \in P \mbox{ и x - брат y }} \right\} ( рис. 4.1).


Рис. 4.1.

В семье, состоящей из двух братьев p и q и сестры r, имеем ситуацию: отношение B не симметрично, так как p B r, но не r B p ; B не антисимметрично, так как p B q и q B p, хотя и p и q различны.

В более общей ситуации мы можем интерпретировать рассмотренные выше характеристики отношений путем построения диаграмм:

a) отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого узла на диаграмме существует стрелка-петля;

б) отношение симметрично тогда и только тогда, когда для каждой стрелки, соединяющей два узла, существует также стрелка, соединяющая два этих узла в обратном направлении.

в) отношение транзитивно тогда и только тогда, когда для каждой пары узлов x и y, связанных последовательностью стрелок от x к a_1 и от a_1 к a_2..., от a_{n-1} к a_n, от a_n к y, существуют также стрелки от x к y.

г) отношение антисимметрично тогда и только тогда, когда не существует двух различных узлов, связанных парой стрелок ( рис. 4.2).


Рис. 4.2.

Для примера 1 ( рис. 4.3) \rho = \left\{ {(x, y): x, y \in N \mbox{ и x - делитель y }} \right\}, \\
N = 1, 2, …, 9.


Рис. 4.3.

В явном виде

\rho
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 9), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)} отношение \rho рефлексивно, несимметрично, транзитивно и антисимметрично.

Пример 4 ( рис. 4.4). \tau = \left\{ {(x, y) : x, y \in N \backslash \left\{ 1 \right\} \mbox{ и x и y имеют общий делитель }} \right\}, \tau = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 3), (6, 2), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (9, 9), (6, 4), (8, 6), (6, 8), (9, 6), (6, 9)} .


Рис. 4.4.

Отношение \tau рефлексивно, симметрично, но не транзитивно и антисимметрично.

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​

Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига