Вятский государственный университет
Опубликован: 21.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1738 / 311 | Оценка: 4.39 / 4.31 | Длительность: 06:24:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Отношения

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Аннотация: Приводятся начальные сведения об отношениях и основные понятия бинарных отношений, тождественного и универсального отношений. Даются возможные способы представления отношений

Основные понятия отношений

Часто в вычислениях необходимо выбирать элементы множеств, которые удовлетворяют некоторому " отношению ". Это понятие довольно общее, поэтому широко применимо. При соответствующем выборе отношения его аргументы могут быть связаны какой-либо формулой, иногда достаточно простой, если возможно найти удачное описание.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие отношения ( рис. 3.1):


Рис. 3.1.

Предположим, что P - множество программ; D - конечное множество данных; R - множество результатов.

Если мы выберем конкретное значение из D, то оно может использоваться в некоторых программах из P и для каждой программы из P существует совокупность значений из D, которые в ней используются. Таким образом, мы имеем соответствие между значениями данных и программами, и, следовательно, существуют элементы D \times P, представляющие интерес. Аналогично, если мы сведем рассмотрение к p \in P, то p связывает соответствующие данные из D с результатами из R.

Можно рассматривать данные, приводящие к остановке, или результаты, которые не могут быть получены из p. Следовательно, мы приходим к подмножеству D \times R.

Определение. n -местным отношением R на множествах A_ , ..., A_n называется подмножество прямого произведения A_1 \times...\times A_n.

Другими словами, элементы x_1, ..., x_n (где x_1\in A_1, ......, x_n\in A_n ) связаны отношением R тогда и только тогда, когда (x_1, x_2, …..., x_n)\in R, а ( x_1, x_2, …..., x_n ) - упорядоченный набор из n элементов.

Наиболее часто встречаются отношения при n = 2 ; в этом случае они называются бинарными отношениями. Следовательно, бинарные отношения между множествами A и B являются просто подмножеством A \times B. Если эти множества эквивалентны (скажем, равны A ), то будем говорить, что подмножество A^2 определяет отношения на A.

Отношения не являются чем-то новым. Можно построить отношения, которые несомненно будут знакомы вам.

Пример 1. Пусть A = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \right\}.

Тогда R = \left\{(x, y): x, y \in A, \mbox{где x - делитель y и x \le 5}\right\}.

В явном виде

\begin{array}{l}
R = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6),\\
(2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10)} \right\} \\
\end{array}.

Пример 2 (шахматы). Пусть F = \left\{ {a, b, c, d, e, f, g, h } \right\}, R = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } \right\} и пусть S = F \times R.

Таким образом, S - множество всех клеток, обозначаемых парами (x, y), где x \in F, y \in R.

Определим бинарное отношение C для ладьи на множестве S так, что (s, t) \in C тогда и только тогда, когда s и t - элементы S и ладья может пройти от s к t одним ходом на пустой доске.

C \subseteq S \times S и C = \left\{ ((f_s, r_s), (f_t, r_t)) : (f_s=f_t  и  r_s \ne r_t) \mbox{ или } (f_s \ne f_t  и  r_s=r_t) \right\}.

Напомним, что ладья может изменять либо горизонтальную координату, либо вертикальную, но не обе одновременно.

В общем случае ряд различных отношений на множестве A зависит от \left| A \right|. Большая часть этих отношений не представляет интереса, но отдельные оказываются полезными.

Определение 1. Для любого множества A определим тождественное отношение I_A и универсальное отношение U_A следующим образом:

I = \left\{ (a, a) : a \in A \right\}, U = \left\{ {(a, b) : a \in A, b \in А} \right\}.

Таким образом, U_A = A^2. Так как \emptyset \subseteq A^2, то \emptyset является отношением на A и называется пустым отношением.

Пусть отношение R определено в соответствии с изображением на рис. 3.2. Свяжем с каждым бинарным отношением R между A и B - область определения D(R) и область значений \Re (R). Они определяются следующим образом.

Определение 2. Область определения - это множество значений x, таких, что пара (x, y) принадлежит отношению R: 
D(R) = \left\{ x : (x, y) \in R \right\}, а область значений \Re (R) это множество значений y, таких, что пара (x, y) принадлежит отношению R: \Re (R) = \left\{ y : (x, y) \in R \right\}.


Рис. 3.2.

Пример 3. Пусть отношение R такое же, как и в примере 1, R = \left\{(x, y): x, y \in A, \mbox{где x - делитель y и x \le 5}\right\}. В явном виде \begin{array}{l}
R = \left\{ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9),  (1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6),\\
(2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10)} \right\}\\
\end{array}.

Тогда D (R) = \left\{ {1, 2, 3, 4, 5 } \right\}, т. е. \Re (R) = A.

Хотя каждое отношение является множеством и может быть обозначено прописной буквой, иногда отношения обозначаются строчными греческими буквами: \rho ,\tau ,\sigma .

Например:

a) (a, b) \in \rho , т. е. (a, b) находится в \rho ;

б) a \rho b: a связано с b отношением \rho ;

в) b  \in \rho (a).

Определение 3. Пусть R - бинарное отношение. Определим обратное отношение R^{-1} следующим образом:

R^{-1} = \left\{ { (x, y) : (y, x) \in R} \right\}.

Таким образом, R^{-1} связывает те же пары элементов, что и R, но "в другом порядке". Следовательно, если R \subseteq A \times B, то R^{-1} \subseteq B \times A, D(R^{-1}) = \Re (R) и \Re (R^{-1}) = D(R).

Можно D(R) писать D_R и \Re (R) как R_R.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12 || Лекция 4 >
Владислав Бариков
Владислав Бариков

Непонятно почему в примере - отношение t НЕ транзитивно, ведь пары (2,4) и (4, 6) влекут (2, 6) и эта пара имеет общий делитель 2.​